Цифри. Десятковий запис натуральних чисел
Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ
§ 1. НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА
2. Цифри. Десятковий запис натуральних чисел
Як дім будують із цеглин, а слова складають з літер, так натуральні числа записують за допомогою спеціальних знаків, які називають цифрами. Цих цифр десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Натуральні числа, записані однією цифрою, називають одноцифровими, двома цифрами – двоцифровими, трьома цифрами – трицифровими і т. д. Усі числа, крім одноцифрових, називають багатоцифровими. Багатоцифрове число може починатися з будь-якої цифри, крім
Легко прочитати трицифрове число 917, однак число 17025543607 прочитати набагато складніше. Щоб прочитати багатоцифрове число, цифри його запису розбивають справа наліво на групи по три цифри: 17 025 543 607 (при цьому крайня зліва група може складатися з трьох цифр, із двох цифр, як у нашому прикладі, або з однієї цифри). Ці групи називають класами. Перший справа клас називають класом одиниць, другий – класом тисяч, третій – класом мільйонів, четвертий – класом мільярдів і т. д.
Під час читання багатоцифрового числа число, записане в кожному класі, читають як трицифрове, двоцифрове або одноцифрове, додаючи при
17 мільярдів 25 мільйонів 543 тисячі 607.
Кожний клас розбивають справа наліво на три розряди: одиниці, десятки, сотні.
Так, у наведеному прикладі в класі одиниць 7 одиниць, 0 десятків і 6 сотень, а в класі мільйонів – 5 одиниць, 2 десятки, 0 сотень. Назви всіх розрядів числа 17 025 543 607 наведено в поданій таблиці.
Клас Мільярдів | Клас Мільйонів | Клас Тисяч | Клас Одиниць | |||||||
1 | 7 | 0 | 2 | 5 | 5 | 4 | 3 | 6 | 0 | 7 |
Десятки Мільярдів | Одиниці Мільярдів | Сотні Мільйонів | Десятки Мільйонів | Одиниці Мільйонів | Сотні Тисяч | Десятки Тисяч | Одиниці Тисяч | Сотні | Десятки | Одиниці |
Якщо всі цифри якогось класу числа є нулями, то, читаючи число, назву цього класу не промовляють. Наприклад, число 2 000 724 читають: 2 мільйони 724.
Запис натуральних чисел, яким ми користуємося, називають десятковим. Така назва пов’язана з тим, що десять одиниць кожного розряду складають одну одиницю наступного, старшого розряду. Наприклад, десять одиниць складають один десяток, десять десятків – одну сотню і т. д.
Число 2958 можна подати у вигляді суми:
2958 = 2000 + 900 + 50 + 8
Або
2958 = 2 ∙ 1000 + 9 ∙ 100 + 5 ∙ 10 + 8 ∙ 1. Останню рівність називають записом числа 2958 у вигляді суми розрядних доданків.
Розв’язуємо усно
На скільки:
1) 18 більше за 6; 2) 4 менше від 12?
2. У скільки разів:
1) 18 більше за 6; 2) 4 менше від 12?
3. Обчисліть:
1) 12 ∙ 5+ 1; 4) 12 ∙ (5 – 1);
2) 12 ∙ 5 – 1; 5) 12 : (5 + 1);
3) 12 ∙ (5 + 1); 6) 12 : (5 – 1).
4. Назвіть п’ять послідовних натуральних чисел, починаючи з числа: 1) 423; 2) 1658; 3) 2997.
5. Назвіть у зворотному порядку п’ять послідовних натуральних чисел, починаючи з числа: 1) 358; 2) 1573; 3) 4001.
6. Назвіть усі чотирицифрові числа, сума цифр яких дорівнює 2.
7. Двоцифрове число закінчується цифрою 4. Якщо до цього числа додати число, записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, то отримаємо число 99. Знайдіть ці два числа.
Вправи
17.° Назвіть розряд, у якому стоїть цифра 4 в записі числа: 1) 34; 2) 246; 3) 473; 4) 24 569.
18.° Прочитайте число:
1) 234 642; 5) 6 704 917 320;
2) 502 013; 6) 72 016 050 400;
3) 9 145 679; 7) 491 872 653 000;
4) 105 289 001; 8) 305 002 800 748.
19.° Запишіть десятковим записом число:
1) 34 мільйони 384 тисячі 523;
2) 85 мільйонів 128 тисяч 23;
3) 16 мільйонів 26 тисяч 4;
4) 6 мільйонів 60 тисяч 17;
5) 8 мільярдів 801 мільйон 30 тисяч 5;
6) 22 мільярди 33 мільйони 418;
7) 251 мільярд 538;
8) 46 мільярдів 854;
9) 607 мільярдів 3.
20. Запишіть десятковим записом число:
1) 23 мільйони 275 тисяч 649;
2) 56 мільйонів 319 тисяч 48;
3) 12 мільйонів 20 тисяч 21;
4) 8 мільйонів 7 тисяч 3;
5) 6 мільярдів 325 мільйонів 800 тисяч 954;
6) 14 мільярдів 52 мільйони 819;
7) 368 мільярдів 742 тисячі;
8) 92 мільярди 29.
21.° Запишіть цифрами число:
1) сорок шість мільярдів чотириста п’ятдесят сім мільйонів сімсот двадцять сім тисяч триста вісімдесят вісім;
2) шістсот тридцять два мільярди двісті чотири мільйони тридцять п’ять тисяч сорок сім;
3) сто п’ять мільярдів п’ятсот тридцять дев’ять тисяч сто;
4) тридцять мільярдів двадцять тисяч дев’яносто;
5) вісім мільярдів сім мільйонів п’ятнадцять тисяч чотирнадцять;
6) один мільярд дві тисячі два.
22.° Запишіть цифрами число:
1) три мільйони триста тридцять три тисячі триста тридцять три;
2) три мільйони триста тисяч;
3) три мільйони три тисячі;
4) три мільйони тридцять;
5) три мільйони тридцять тисяч триста;
6) три мільйони три тисячі три;
7) три мільйони три.
23°. Запишіть цифрами число:
1) шістдесят вісім мільярдів двісті сорок дев’ять мільйонів дев’ятсот п’ятдесят чотири тисячі сімсот двадцять три;
2) вісімсот чотирнадцять мільярдів сто дев’ять мільйонів дві тисячі тридцять два;
3) триста сім мільярдів шістсот двадцять одна тисяча чотириста;
4) дев’яносто мільярдів десять тисяч двадцять;
5) два мільярди три мільйони чотири тисячі п’ять;
6) один мільярд одна тисяча один.
24.° Запишіть і прочитайте число, яке утвориться, якщо записати число 514 поспіль:
1) два рази; 2) три рази; 3) чотири рази.
25.° Запишіть і прочитайте число, яке утвориться, якщо записати число 48 поспіль:
1) два рази; 2) три рази; 3) чотири рази; 4) п’ять разів.
26.° Подайте у вигляді суми розрядних доданків число:
1) 846; 3) 12 619; 5) 32 598 009;
2) 2375; 4) 791 105; 6) 540 007 020.
27.° Подайте у вигляді суми розрядних доданків число:
1) 34 729; 2) 478 254; 3) 23 487 901.
28.° Запишіть число, яке:
1) на 1 менше від найменшого трицифрового числа;
2) на 4 більше за найбільше трицифрове число;
3) на 5 менше від найменшого п’ятицифрового числа;
4) на 6 більше за найбільше шестицифрове число;
5) на 7 більше за найменше восьмицифрове число.
29.° Запишіть найбільше восьмицифрове число та наступне за ним і попереднє до нього числа.
30.° Запишіть найменше семицифрове число та наступне за ним і попереднє до нього числа.
31.° Двоцифрове число записали два рази поспіль. У скільки разів отримане чотирицифрове число більше за дане двоцифрове число?
32.° Трицифрове число записали два рази поспіль.
У скільки разів отримане шестицифрове число більше за дане трицифрове число?
33.° У книжці пронумеровано сторінки з першої по сто сімдесят другу. Скільки цифр було написано під час нумерування сторінок?
34.° Для нумерування сторінок книжки надрукували 2004 цифри. Скільки сторінок у цій книжці?
35.° Яких трицифрових чисел більше: тих, усі цифри яких парні, або тих, усі цифри яких непарні?
Вправи для повторення
36. Обчисліть:
1) 24 ∙ 564; 5) 407 ∙ 306; 9) 1134 : 42;
2) 754 ∙ 60; 6) 852 : 6; 10) 3198 : 26;
3) 2504 ∙ 82; 7) 67 216 : 8; 11) 4532 : 22;
4) 364 ∙ 276; 8) 782 : 34; 12) 14 210 : 35.
37. Виконайте дії:
1) 49 + 26 ∙ (54 – 27); 3) (801 – 316) ∙ 29;
2) 36 : 9 + 18 ∙ 5; 4) (488 + 808) : 18.
38. Перший політ у космос здійснив у 1961 р. громадянин Радянського Союзу Юрій Гагарін. Через 8 років після цього на Місяць ступила перша людина – американець Нейл Армстронг. Ще 28 років по тому у складі екіпажу корабля “Коламбія” до космосу полетів перший космонавт незалежної України Леонід Каденюк. У якому році відбувся цей політ?
39. Маса палиці Котигорошка дорівнює 60 пудів, а маса його шаблі у 12 разів менша. Яка загальна маса палиці та шаблі Котигорошка?
40. Щоб допомогти Карабасу Барабасу, який захворів, Дуремар вирішив поставити йому п’явки. Для першої процедури він використав 24 п’явки, а для другої – у 3 рази більше. Скільки всього п’явок було потрібно Дуремару, щоб вилікувати Карабаса Барабаса?
41. Вертоліт за 4 год може пролетіти 720 км. Яку відстань він пролетить за 6 год з тією самою швидкістю?
42. За три дні коваль Вакула виготовив 432 підкови. Скільки підків він виготовить за 5 днів, працюючи так само завзято?
Задача від Мудрої Сови
43. У цьому році день народження батька був у неділю. У який день тижня святкувала день народження мати, якщо вона на 62 дні молодша від батька?
Коли зроблено уроки
Як рахували в давнину
У місцях, де жили стародавні люди, археологи знаходять предмети з вибитими крапками, надряпаними рисочками, глибокими зарубками. Ці знахідки дозволяють припустити, що вже в кам’яному віці люди вміли не лише рахувати, а й фіксувати (“записувати”) результати своїх підрахунків.
З розвитком суспільства вдосконалювалися і способи лічби. Адже такі примітивні засоби лічби, як зарубки на палиці, вузли на мотузці або камінці, складені в купки, не могли задовольнити потреби торгівлі та виробництва.
Приблизно за 3000 pp. до н. е. було зроблено найважливіше відкриття: люди винайшли спеціальні знаки для позначення певної кількості предметів. Наприклад, єгиптяни десяток позначали символом ⋂, сотню – символом ⊂. Число 123 записували так: ⊂⋂⋂ ІІІ.
У Стародавньому Римі записували числа за допомогою таких цифр:
І – один; С – сто;
V – п’ять; D – п’ятсот;
X – десять; М – тисяча.
L – п’ятдесят;
Римська система числення грунтується на такому принципі: якщо при читанні зліва направо менша цифра стоїть після більшої, то вона додається до більшої:
VI = 6, XXXII = 32; якщо менша цифра стоїть перед більшою, то вона віднімається від більшої: IV = 4, VL = 45.
У римській системі числення, наприклад, число 14 записують так: XIV. Тут цифра І стоїть між двома більшими цифрами X и V. У такому разі цифру І віднімають від цифри, яка стоїть праворуч від неї (у нашому прикладі це цифра V).
Рік 1945-й, у якому завершилася Велика Вітчизняна війна, за допомогою римських цифр можна записати так: MCMXLV.
Ця система збереглася до наших днів. Часто можна зустріти записи, де використано римські цифри, наприклад: XXI століття, глава VI. Також їх можна побачити на циферблатах годинників, пам’ятниках архітектури.
Успенський собор (м. Харків)
Ви, мабуть, уже помітили, що навіть прочитати число, записане римськими цифрами, нелегко. Тим більше складно виконувати в такому записі чисел арифметичні дії з ними. Крім того, якщо потрібно записувати досить великі числа (мільйон, мільярд тощо), то слід придумувати нові цифри. Інакше запис числа буде дуже довгим. Наприклад, якщо для запису числа 1 000 000 використовувати тільки римську цифру М, то запис буде складатися з тисячі таких знаків. Усі ці недоліки істотно звужують можливість застосування римської системи числення.
У Стародавній Русі не стали придумувати спеціальні знаки для позначення цифр. Для цього використовували букви алфавіту. Над буквою ставили хвилясту лінію – титло.
Наприклад, число 241 записували так: 
Одним з найвидатніших досягнень людства є винахід десяткової позиційної системи числення. За допомогою цієї системи записують як завгодно великі числа, використовуючи лише десять різних цифр. Таке можливо тому, що одна й та сама цифра має різні значення залежно від її позиції в числі.
Цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 називають арабськими. Проте араби лише розповсюдили десяткову позиційну систему, створену індусами.
Деякі племена та народи використовували інші позиційні системи числення. Наприклад, індіанці племені майя використовували двадцяткову систему, а стародавній народ шумери – шістдесяткову.
Сліди двадцяткової системи можна віднайти в деяких європейських мовах. Так, французи замість “вісімдесят” кажуть “чотири рази по двадцять” (quatre-vingts). Розбиття однієї години на 60 хвилин, а однієї хвилини на 60 секунд – приклад явного спадку шістдесяткової системи.
Лічба за допомогою десяти пальців рук спричинила появу десяткової системи. Загальна кількість пальців на руках і на ногах стала основою для створення двадцяткової системи. “Пальцьове” походження має і дванадцяткова система: спробуйте великим пальцем руки підрахувати фаланги на інших пальцях цієї ж руки, вийде 12 (рис. 2). Так виникла лічба дюжинами.
Рис. 2
І за наших днів у Європі дюжинами продають носовички, гудзики, курячі яйця. Кількість предметів у столових приборах і сервізах (виделки, ножі, ложки, тарілки, чашки, бокали тощо), як правило, дорівнює 6 (півдюжина), 12, 24 і т. д.
Існують також інші позиційні системи числення. Так, побудова і робота комп’ютера грунтуються на двійковій системі числення, яка використовує лише дві цифри – 0 і 1.Більш докладно про двійкову систему числення ви дізнаєтесь на уроках інформатики.
Як називають “числа-велетні”
Число мільйон – велике чи мале? Наприклад, щоб провести на уроках один мільйон хвилин, вам довелося б навчатися в школі близько 20 років. Цей приклад показує, що мільйон – велике число.
Однак для задоволення потреб таких наук, як економіка, астрономія, фізика, хімія, потрібні числа, що значно більші за мільйон.
Тисячу мільйонів називають більйоном або мільярдом, тисячу більйонів – трильйоном. Якщо до трильйона приписати праворуч три нулі, то отримаємо квадрильйон. Далі, приписуючи кожного разу по три нулі, отримаємо послідовність чисел, що мають такі назви: квінтильйон, секстильйон, септильйон, октильйон, нонільйон.
Є назви й у чисел, більших від нонільйона (див. форзац).
Щоб ви могли уявити, наскільки величезні ці числа, наведемо ще один приклад. Вік нашого Всесвіту, за оцінками вчених, не перевищує квінтильйона хвилин.
