Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника
Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників
§ 15. Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника
351. 1) AT – висота трикутника ABC.
2) AN – медіана трикутника ABC.
3) АР – бісектриса трикутника? AВС.
352. Оскільки AK – висота, то ∠BKA = ∠CKA = 90°.
353. Оскільки АК – бісектриса, то ∠BAK = ∠CAK = 35°. Отже, ∠BAC = ∠BAK + ∠CAK = 35° + 35° = 70°.
354. Оскільки АК – медіана, то 
355.
AL, BN, СК – медіани? ABC.
356. PL, CP, AM – бісектриси?
357.
AK, CL, BM – висоти? ABC.
358.
AE, BF, CD – висоти? ABC.
359. Оскільки висота рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і бісектрисою, то: ∠CAK = ∠BAK, ∠ACK = ∠ABK, ∠AKC = ∠AKB, AC = AB, CK = KB.
360. Оскільки бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є медіаною і висотою, то: ∠EDP = ∠EFP, ∠DEP = ∠EFP, ∠EPD = ∠EPF, ED = EF, DP = PF.
362. Якщо у трикутника два кути рівні, то він – рівнобедрений. ∠B = ∠C, отже, ВС – основа трикутника. Бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою. Значить, бісектриса
364.
Нехай в? ABC BD – бісектриса і висота. ∠ABD = ∠CBD, ∠BDA = ∠BDC, BD – спільна сторона? ABD і? CBD. Отже, ?ABD = ?CBD за стороною і прилеглими кутами. Оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні, то AB = СВ. Отже, ?ABC – рівнобедрений.
365.
Нехай в? ABC BD – медіана і висота. ∠BDA = ∠BDC = 90°, AD = DC, BD – спільна сторона? ABD і? CBD. Отже, ?ABD = ?CBD за двома сторонами і кутом між ними. Оскільки у рівних трикутників відповідні сторони рівні, то AB = СВ. Отже, ?АВС – рівнобедрений.
366.
?ABC = ?A1B1C1, отже, A1C1 = АС, ∠B1C1A1 = ∠BCA (як відповідні сторони і кути рівних трикутників). AB – бісектриса? ABC, ∠BAD = ∠DAC. A1D1 – бісектриса? A1B1C1, ∠B1A1D1 = ∠D1A1C1.Отже, ∠DAC = ∠D1A1C1. ?ADC = ?А1D1С1 – за стороною і прилеглими кутами.
367.
Нехай в? АВС АВ = ВС, BF = FC = 1/2BC, BD = DA = 1/2AВ, отже, AD = FC. ?ADC = ?CFА (оскільки АС – спільна, ∠DAC = ∠FCA – як кути при основі рівнобедреного трикутника, AD = FC – як половини рівних сторін AB і ВС). З рівності трикутників маємо: DC = FA.
368.
Нехай в? ABC AB = ВС, ∠BAC = ∠BCA, AF і CD – бісектриси, тобто ∠FAC = ∠FAB = 1/2∠BAC, ∠DCA = ∠DCB = 1/2BCA, отже, ∠FAC = ∠DCA, ?ADC = ?CFA (оскільки АС – спільна, ∠FAC = ∠DCA,∠DAC = ∠FCA). З рівності трикутників маємо: AB = CD.
369.
Нехай в? ABC AB = ВС, BD ⊥ АС, BD = 10 CM, P? ABD = 40 CM.
P? ABD = AB + AD + BD, AB + AD = P? ABD – BD = 40 – 10 = 30 (см). AB = BC – за умовою, AD = DC – оскільки BD є медіаною. AB +AD = ВС + DC, тоді P? ABC = AB + AD + ВС + DC = 30 + 30 = 60 (см).
Відповідь: 60 см.
370.
Нехай в? ABC СВ = СА, ВК = КА, P? ABC = 16 см, P? ACK = 12 см.
P? ACK = СА + АK + KС, Р? ABC = CA + AB + BC = CA + AK + KB + BC = 2(CA + KA) = 16 (см). CA + АК = 8 см, KС = Р? ACK – (СА + АK) = 12 – 8 = 4 (см).
Відповідь: 4 см.
371.
Нехай в? ABC CN – медіана і бісектриса. Продовжимо медіану CN так, щоб NK = CN. Проведемо відрізки КА і КВ. Розглянемо? CNB і? KNA. CN = KN (за побудовою), NB = NA (за умовою). ∠ANK= ∠BNK (як вертикальні), отже, ?CNB = ?KNA за двома сторонами і кутом між ними.
У рівних трикутників рівні відповідні кути і сторони, тож ∠NCB = ∠NKA, СВ = КА. Аналогічно з рівності трикутників CAN і KBN отримаємо ∠CAN = ∠BKN, АС = ВК.
Розглянемо? CAN і? КВС. Вони рівнобедрені. АК = СА, СВ = ВК. Отже, отримали АС = СВ = АК = КВ. У? ABC дві сторони рівні, він рівнобедрений.
372.
Нехай задані прямі а і b і січна с. Якби а була б паралельна b, TO ∠1 = ∠3 = ∠5 = ∠7, a ∠2 = ∠4 = ∠6 = ∠8 і ∠3 + ∠6 = 180°. Нехай ∠3 = 30°, ∠6 = 140°. ∠3 + ∠6 = 170° ≠ 180°. Отже, сума внутрішніх односторонніх кутів не дорівнює 180°.
Кути ∠6 і ∠7 теж не можуть дорівнювати відповідно 140° і 30°, бо вони суміжні.
373.
Нехай? ABC – рівносторонній, Р? ABC = 12 см. ?ACD – рівнобедрений. AD = CD, P? ACD = 18 см. AB = BC = АС (як сторони рівностороннього трикутника).
AC = P? ABC : 3 = 12 : 3 = 4 (см).
P? ACD = АС + AD + CD, AD + CD = P? ACD – AC = 18 – 4 = 14 (см). Отже, AD = CD = 7 см.
Відповідь: 7 см.
374.
Нехай? ABC – рівнобедрений, AB = BC, Р? ABC = 69 см. Позначимо довжину AB = х см, тоді АС = 0,3x см. Складемо рівняння: x + x + 0,3x = 69; 2,3x = 69; x = 30. Отже, AB = BC = 30 см, АС = 30 x 0,3 = 9 (см).
Відповідь: ЗО см, 30 см, 9 см.
375. 125 л = 125 дм3. Олесь придбав акваріум розмірами 15 дм х 5 дм х 5 дм. Якщо Олесь наповнив акваріум, не доливши до краю 6 см, то він залив води 5 x 5 x 4,4 = 110 (дм3) = 110 л.
Відповідь: 110 л.
