МНОЖЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ

§ 28. МНОЖЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

Ви знаєте, що додавання кількох рівних додатних чисел можна замінити дією множення. Наприклад, 2+2+2+2+2=2 ∙ 5=10. Міркуючи аналогічно, знайдемо добуток-2 ∙ 5:

-2 ∙ 5 = -2 + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) = -10.

Отримане число-10 є протилежним де числа 10 = 2 ∙ 5. Але 2 = |- 2|, 5 = |5|. Отже, добуток чисел -2 і 5 дорівнює добутку модулів цих чисел, узятому зі знаком “-“:

-2 ∙ 5 = -(|-2| ∙ |5|) = – (2 ∙ 5) = – 10.

? Як помножити числа 5 і -2? Поміркуймо.

Нехай, наприклад, -2 є зміною температури повітря

щогодини, а 5 – кількістю годин, протягом яких велися спостереження. Тоді і добуток -2 ∙ 5, і добуток 5 ∙ (-2) показує, на скільки градусів змінилась температура за 5 год і в який саме бік – підвищення чи зниження. Зрозуміло, що похолодало на 10 °С, тобто температура змінилась на-10 °С (мал. 137).

Дістали, щоб ∙ (-2)= – 2 ∙ 5. Тому5 ∙ (-2) = -10. Отже, добуток чисел 5 і -2 можна знайти так само, як і добуток чисел -2 і 5:

5 ∙ (-2) = – (|5| ∙ |-2|) = -(5 ∙ 2) = -10.

Мал. 137

Запам’ятайте!

Правило множення чисел з різними знаками Добуток двох чисел з різними знаками – число від’ємне.

Щоб помножити два

числа з різними знаками, треба помножити їх модулі і перед отриманим добутком поставити знак”-“.

? Як помножити два від’ємні числа? Розглянемо задачу.

Задача 1 . Температура повітря щогодини змінювалась на у -2 СС. Якою була температура 5 год тому?

Розв’язання. Якщо число 5 – це кількість годин, протягом яких велися спостереження, то число -5 відповідає часу ; “5 год тому”. Отже, у задачі треба знайти добуток (-2) ∙ (-5). Зрозуміло, що 5 год тому було тепліше на 10 °С. Тобто : -2 ∙ (-5) = 10.

Отже, добуток двох від’ємних чисел є числом додатним, я ке дорівнює добутку модулів множників.

Запам’ятайте!

Правило множення двох від’ємних чисел Добуток двох від’ємних чисел – число додатне. Щоб помножити два від’ємні числа, достатньо помножити їх модулі.

Узагалі, знак добутку двох раціональних чисел визначається знаками множників.

? Чи можна за знаком добутку двох чисел визначити, однакові чи різні знаки у множників? Так. Наприклад, число 6 дорівнює добутку чисел з однаковими знаками:

2 і 3 або -2 і -3. А от число -6 дорівнює добутку чисел із різними знаками: -2 і 3 або 2 і -3.

Властивості множення на 0 раціональних чисел аналогічні до таких самих властивостей множення додатних чисел. Якщо один із множників дорівнює нулю, то добуток дорівнює нулю:

А ∙ 0 = 0 ∙ а = 0.

Надалі будемо розглядати раціональні числа, відмінні від нуля, а випадки, пов’язані з числом 0, будемо аналізувати окремо.

Зверніть увагу:

– якщо добуток аb додатний, то числа а і b мають однакові знаки, і навпаки;

– якщо добуток ab від’ємний, то числа а і b мають різні знаки, і навпаки;

– якщо добуток ab дорівнює нулю, то хоча б одне з чисел, а чи b, дорівнює нулю, і навпаки.

Якщо один із множників дорівнює 1, то добуток дорівнює іншому множнику:

А ∙ 1 = 1 ∙ а = а.

Множення числа на -1 має свої особливості. Якщо деяке число помножити на -1, то в добутку дістанемо протилежне до нього число. Наприклад: 5 ∙ (-1) = -5. Міркуючи навпаки, дістанемо, що будь-яке число можна подати як добуток -1 і числа, протилежного до даного. Наприклад, -2 =-1 ∙ 2, а 2 = -1 ∙ (-2) або 2- -(-2). Про такий запис кажуть: знак мінус винесли за дужки. Отже,

А ∙ (-1) = -1 ∙ а = – а.

Ви знаєте, що для додатних чисел справджуються переставний і сполучний закони множення, а також розподільний закон множення відносно додавання. Ці закони дають змогу спрощувати обчислення добутку трьох і більше множників, більш зручним способом множити число на суму чисел.

Задача 2. Знайдіть добуток: 1)-0,2 ∙ (-564) ∙ 5; 2) -2 – (-1 ,5 + 5).

Розв’язання. 1. Переставимо множники і згрупуємо їх так, щоб обчислення були найпростішими:

-0,2 ∙ (-564) ∙ 5 = -0,2 ∙ 5 ∙ (-564) = -1 ∙ (-564) = 564.

2. Застосуємо розподільний закон множення та правила множення від’ємних чисел і чисел з різними знаками:

-2 ∙ (-1,5+ 5) = -2 ∙ (-1,5) + (-2) ∙ 5=3-10 = -7.

? Чи можна визначити знак добутку кількох раціональних чисел, не обчислюючи цей добуток? Так.. При цьому враховують, що добуток додатних множників є додатним, і вони не впливають на знак результату.

Задача 3 . Додатним чи від’ємним є добуток:

1) -2 ∙ 2 ∙ (-1) -(-5) ∙ (-4) ∙ 5 ∙ 10;

2)-6 ∙ (-5) ∙ (-0,2) ∙ (-1) ∙ 7 ∙ 10 ∙ (-3)?

Розв’язання. 1. У даному добутку чотири від’ємні множники: -2,-1, -5, – А. Добуток першої пари цих чисел додатний, другої пари – також, тому добуток усіх чотирьох чисел – додатний. Отже, даний добуток є додатним: -2 ∙ 2 ∙ (-1) ∙ (-5) ∙ (-4) -5 ∙ 10 > 0.

2. У даному добутку 5 від’ємних множників, тому:

-6 ∙ (-5) ∙ (-0,2) ∙ (-1) ∙ 7 ∙ 10 ∙ (-3) < 0.

Зверніть увагу:

– добуток парної кількості від’ємних множників – додатний;

– добуток непарної кількості від’ємних множників – від’ємний.

Дізнайтеся більше

Індійські математики сформулювали правила множення, ділення, віднімання, додавання раціональних чисел. У таблиці 14 ви бачите, якими міркуваннями вони користувалися під час множення раціональних чисел.

Таблиця 14

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Назвіть компоненти дії множення.

2. Як помножити два додатні числа?

3. Сформулюйте правило множення чисел з різними знаками.

4. Сформулюйте правило множення двох від’ємних чисел.

5. Як визначити знак добутку за знакам и множників?

6. Чому дорівнює добуток деякого числа і числа 0? числа 1? числа-1 ?

7. Що можна сказати про множники, якщо їх добуток дорівнює нулю?

8. Сформулюйте і запишіть переставний закон множення.

9. Сформулюйте і запишіть сполучний закон множення.

10. Сформулюйте і запишіть розподільний закон множення відносно додавання.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1236′. Дано два числа з різними знаками. Чи є правильним твердження:

1) добуток даних чисел є числом додатним;

2) добуток даних чисел є числом від’ємним?

1237′. Дано два від’ємні числа. Чи є правильним твердження:

1) добуток даних чисел є числом від’ємним;

2) добуток даних чисел є числом додатним?

1238′. Сергій міркує так: якщо добуток a ∙ b додатний, то числа а і Зможуть бути тільки додатними. Чи правий Сергій?

1239′. Віталій міркує так: якщо добуток а ∙ b від’ємний, а – додатне число, то число b може бути тільки від’ємним. Чи правий Віталій?

1240′. Чи є правильним твердження: якщо добуток а ∙ b дорівнює нулю, то:

1) або а, або b дорівнює нулю;

2) одночасно а і b дорівнюють нулю;

3) а і b не дорівнюють нулю?

1241′. Чи правильно, що: 1) -5 ∙ 0 = 5; 2) 0 ∙ (-3) = 0?

1242°. Замініть суму добутком й обчисліть:

1) 15+15+ 15+15+15+15;

2)-7+(-7)+ (-7)+ (-7)+ (-7).

1243°. Замініть суму добутком й обчисліть:

1) 1,2+ 1,2 + 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2+ 1,2;

2)-5+ (-5)+ (-5)+ (-5)+ (-5)+ (-5).

1 244°. Знайдіть суму вісімнадцяти доданків, кожний з яких дорівнює:

1)1; 2) -2;

1245°. Виконайте множення;

1246°. Виконайте множення:

1) -4 ∙ 0,25; 2) 5,6 ∙ (-0,5); 3)-7,3 ∙ 20;

1247°. За даними таблиці 15 знайдіть значення виразу.

Таблиця 15

1248°. Обчисліть:

1) -4 ∙ (-25); 3)-0,04 ∙ (-2,5); 5)-0,6 – (-5);

2)-12 ∙ (-100); 4)-1,3 ∙ (-0,01); 6)-0,01 ∙ (-130).

1249°. Обчисліть:

1) -2 ∙ (-44); 3) -0,21 -(-3);

1250°. За даними таблиці 16 знайдіть значення виразу.

X	-25	-12	-4	-2	-4,5	-0,5
-4х

1251°. Виконайте множення:

1)10 – (-4); 2) -10 ∙ 4; 3) -10 ∙ (-4); 4)10-4.

1252°. Обчисліть:

1253°. За даними таблиці 17 визначте знак числа b.

Таблиця 17

1254°. За даними таблиці 18 визначте знак числа Ь.

Таблиця 18

1255°. Знайдіть х, якщо:

1) 2 ∙ х = 0; 2) -7 ∙ х = 0;

3)0,84-х = 0;

1256°. Розв’яжіть рівняння:

1 )-5 ∙ х = 0; 2) 0.47 ∙ х = 0;

1257°. Обчисліть:

1) – 56 ∙ (-1); 2) 1 ∙ 56; 3)-1 ∙ 56.

5)0,92 ∙ 1; 6) – 1 ∙ (- 53,9);

1258°. Накресліть у зошиті та заповніть таблицю 19.

1259°. Порівняйте значення виразів:

1) -8 ∙ 2 і 2 ∙ (-8); 2) 3 ∙ (-16) і -16 ∙ 3.

1260°. Порівняйте значення виразів:

1) -4 ∙ 9 і 9 ∙ (-4); 2)11 ∙ (-22) і -22 ∙ 11.

1261°. Обчисліть зручним способом:

1262 Обчисліть:

1263°. Переконайтесь у правильності рівності (а + b) ∙ с = ac + bc, якщо:

1) а = -3, b = – b, с = 8; 2) а = 4,5, b = -1,6, с = 2.

1264°. Обчисліть, скориставшись розподільним законом:

1265°. Обчисліть, скориставшись розподільним законом: 3) – 1000 ∙ (0,3 – 0,031).

1266°. Визначте знак добутку:

1) -4 ∙ 1 ∙ (-11) ∙ (-34780);

2) 5 ∙ (-17) ∙ (-2) ∙ (-578) ∙ 121- (-15) ∙ (-7) ∙ (-2);

3)-3,98 ∙ (-13) ∙ 3 ∙ (-0,4)- (-94) ∙ 45,6;

1267°. Додатним чи від’ємним є добуток:

1) 14 ∙ (-124) ∙ (-5) ∙ (-1) ∙ (-9) ∙ 25 ∙ 48 ∙ (-888) ∙ (-43) ∙ 68;

2)-12,76 – (-35)- 19-(-0,0054) -7-61 -358?

1268°. Порівняйте значення виразів:

1) -8 ∙ (-2) і 8 ∙ 2; 2) 30 ∙ (-10) і -10 ∙ 30; 3) -15 ∙ (-6) і -15 ∙ 6.

1269°. Розв’яжіть рівняння:

1) x : (-8) = 0,6; 2)х: 12 = -2; 3) х : (-0,5) =-6.

1270°. Розв’яжіть рівняння:

1) х : (-10) = 3,4; 2)х:3 = -9; 3) х : (-0,1) =-2.

1271. Знайдіть суму вісімнадцяти доданків, кожний з яких дорівнює:

1272. Обчисліть:

1)-12 ∙ 35-34 ∙ (-2);

2)-3,4 + 7 ∙ (-0,5);

1273. Обчисліть:

1)9-32-32; 2)-13- 14 +5-(-10); 3)-6- 15-4.

1274. Дано числа: 0; 1; -2; 3; 4; 5; -6; 7; 8 і -9. Що більше: добуток цих чисел чи їх сума?

1275. Дано числа: 1; -2; 3; 4; 5;-6; 7; 8 і-9. Що більше: добуток цих чисел чи їх сума?

1276. Обчисліть:

1277. Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразів:

1) -2,5 ∙ (-3,2) ∙ 4 і 1,9 ∙ (-9,5)-2;

3) -7,5 ∙ (-4) ∙ (-2) ∙ (-18) ∙ 5 і -6 ∙ (-15) ∙ (-1376);

4)-49 ∙ (-45) ∙ 0 ∙ 318 і -1 ∙ 23 ∙ (-5) ∙ 629.

1278. Знайдіть добуток усіх натуральних чисел, які більші за число -9 і менші від числа 9.

1279. Знайдіть добуток усіх цілих чисел, які більші за число -4 і менші від числа 11.

1280. На скільки добуток чисел 3,7 і -5,6 менший від:

1) меншого з них; 2) більшого з них; 3) їх суми?

1281. На скільки добуток чисел -3 і -4 більший за:

1) більше з них; 2) менше з них; 3)’їх суму?

1282. Обчисліть зручним способом:

1283. Запишіть кожне з чисел -3; -1,7; 8; -0,64; 0,3 у вигляді добутку двох множників, один з яких дорівнює: 1) -1; 2) 1.

1284. Запишіть у вигляді добутку двох однакових множників число:

1) 1; 2) 25; 3) 64; 4) 121. Скількома способами це можна зробити?

1285. Запишіть у вигляді добутку двох протилежних чисел дане число:

1) -9; 2) -36; 3) -81; 4) -100.

1286. Розв’яжіть рівняння:

1)-2 ∙ (x-4) = 0; 4) |х-5| ∙ (-6) = 0;

2) 12 ∙ (7,8 + х) = 0; 5) (8-х) – |-0,72| =0;

3)23,4 ∙ | х | =0; 6) (х – 234) ∙ (-234) = 0.

1287. Розв’яжіть рівняння:

1)41 ∙ (х-41) = 0; 2) -77 ∙ (0,25 + х) = 0; 3) |-57| -|х|=0.

1288. Додатним чи від’ємним є число d, якщо:

1) -3d < 0; 3) 4,3 ∙ (-d) > 0;

2) -d< 0; 4)-3 ∙ (-d) > 0?

1289. Додатним чи від’ємним є добуток цілих чисел, відмінних від нуля, які більші за число -100 і менші від числа 50?

1290. Про числа k, l, m і n відомо, що kl < 0, lm > 0, mn < 0. визначте знак добутку kn.

1291. Додатним чи від’ємним є значення виразу:

1) аb – 7с, якщо а, b і с – від’ємні числа;

2) 5l – mn, якщо l, m i n – від’ємні числа?

1292*. Знайдіть 20 % числа х, якщо:

1293*. Що треба вставити замість зірочок, щоб отримати правильну рівність:

1 )(*-*) ∙ 11 =- 88 – 66m; 2) (-15+ *) ∙ 4 = *-4а?

1294*. Розв’яжіть рівняння:

1) х(х – 3,7)(х + 9,2) = 0; 3) (|х| -0,3)(5-х)(х-16,5) = 0;

2) |х-23| ∙ (х + 12,7) = 0; 4)(|х| + 4) х (6,7 – х) = 0,

1295*. Серед трьох різних чисел а, Ь i с число а є найменшим, а число с – найбільшим. Визначте знак числа Ь, якщо:

1) abc < 0 і с > 0; 2) abc < 0 і ab < 0; 3) abc > 0 і а + с = 0.

1296*. Обчисліть:

1297*. Розв’яжіть рівняння:

1) |х-4|= 1; 2) 3 ∙ |х + 1| = 6; 3)|х-2|=3.

Позначте на координатній прямій точки, координати яких є коренями рівняння. Знайдіть добуток коренів рівняння. Знайдіть відстань між позначеними точками та координати середини відрізка, що сполучає ці точки. Яку закономірність ви помітили?

1298*. На дошці записано десять плюсів і сімнадцять мінусів. Дозволяється стерти одночасно будь-які два знаки, записавши замість однакових знаків плюс, а замість різних – мінус. Який знак залишиться на дошці після двадцяти шести таких операцій?

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1299. Друзі виїхали на велосипедах з міста зі швидкістю 10 км/год і проїхали з такою швидкістю 2,5 год. Потім друзі проїхали год, збільшивши швидкість на 2 км/год. Яку відстань проїхали друзі за весь час подорожі?

1300. Ширина кімнати – 3,75 м, а її довжина – 5,2 м. Підлогу в цій кімнаті вирішили застелити лінолеумом. Ціна його становить 104 грн за квадратний метр. Скільки потрібно лінолеуму для цієї кімнати і яка його вартість?

1301. Мама попросила Олега купити 2 л молока, 1 батон і 1,5 кг печива, і дала йому 90 грн. У магазині молоко коштує 8,45 грн за літр, батон – 4,3 грн, а печиво – 25,8 грн за кілограм. Скільки грошей залишилося в Олега після того, як він зробив покупки?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1302. Обчисліть: 1) (72 : 9 + (680 – 34): 17): 23;

2)(11 + 64): 25- 11 -225: 15.

1303. Знайдіть значення виразу:

1304. Виконайте ділення з остачею: 1) 3784 : 63; 2) 6731 : 62.

1305. Число 116 поділили на деяке число й отримали в неповній частці та остачі число 2. Знайдіть дільник.