Об’єм піраміди і зрізаної піраміди

src="/files1/image4220.jpg" class=""/>

Нехай SABCD — правильна чотирикутна піраміда, SA = SB = SC = SD = b.

A) ∠SAO = α. З ΔSAO: SO = SA × sin α = b × sin α; AO = SA × cos α = b × cos α.

Об’єм V піраміди дорівнює:

Відповідь:

Б) ∠ACO = β,3 ΔSAO: SO = SA ∠ cos β = b cos β; AO = SA × sin β = b × sin β.

Об’єм V піраміди дорівнює:

Відповідь:

В) ∠SAD = γ. Проведемо SK + AD.

З ΔASK: SK = AS × sin ∠SAD = b × sin γ;

AK = AS × cos ∠SAD = AS × cos γ = b × cos γ; AK = OK = b cos γ; AB = 2b cos γ.

3 ΔSKO:

Об’єм V піраміди дорівнює:

Відповідь:

1253.

Нехай SEC – заданий переріз в піраміді SABCDEF.

Позначимо а – сторона основи, H – висота піраміди.

Площа основи першої частини

Оскільки площа правильного шестикутника дорівнює

То площа основи другої частини

Об’єм V1першої частини дорівнює:

Об’єм V2другої частини дорівнює:

Відповідь: 1 : 5.

1254.

Нехай SABC – задана піраміда, AB = BC = CA = а.

Проведемо SK + АВ, SM + СВ, SL + АС, тоді за теоремою про три перпендикуляри CK + АВ, MK + СВ, KL + AC, ∠SKC = 90°, ∠SLK = ∠SMK = 45°. Оскільки ∠SKC = 90°, то SK буде висотою піраміди.

З ΔАКС:

ΔACK – ΔLKA, звідси:

ΔSKL, оскільки ∠SLK = 45°, то

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1255.

Нехай SABC – правильний тетраедр. AB = BC = AC = SA = SB = SC = а.

Площа Socн. основи тетраедра дорівнює

BM – медіана, висота і бісектриса.

Нехай SO – висота, тоді

З ΔSOB:

Отже, шуканий об’єм:

Відповідь:

1256.

Нехай SABC – задана піраміда, AB = 13 см, BC = 14 см, AC = 15 см.

SO + (ABC), проведемо SK + AC, SM + BC, SL + AB, тоді за теоремою про три перпендикуляри OK + АС, OM + ВС, OL + AS, отже, ∠SKO = ∠SMO = ∠SLO. Оскільки двогранні кути при основі рівні, то вершина проектується в точку O – центр вписаного кола в ААВС.

Об’єм призми

Обчисливши напівпериметр р основи площу основи знайдемо за формулою Герона:

Радіус кола, вписаного в трикутник дорівнює:

З ΔSKO: H = SO = OK × tg 45° = 4 (см). Тоді

Відповідь: 112 см3.

1257.

Нехай SABCD – задана піраміда, ABCD – трапеція,

AD = BC = 7 см, AB = 10 см, DC = 4 см. Проведемо SK + CB, SL + DC, SM + AD, SL + AB, тоді за теоремою про три перпендикуляри OK + CS, ON + АВ,

OM + AD, OL + DC.

Оскільки двогранні кути при основі рівні, то вершина проектується в точку O – центр вписаного в трапецію кола.

Розглянемо основу – трапецію ABCD.

Проведемо висоту DP.

З ΔAPD:

З ΔSOK:

Тоді об’єм V піраміди дорівнює:

Відповідь:

1258.

А) Нехай SABC – задана піраміда. AB = BC = АС, SA = SB = SC = b,

∠ABS = ∠ASB = ∠BSC = 2а.

У ΔASC проведемо SK + АС, оскільки трикутник рівнобедрений, то SD буде і бісектрисою.

З ΔASD: AD = SA × sin α = b × sin α; тоді AC = 2b sin α. Оскільки в основі лежить правильний трикутник, то вершина S проектується в центр O трикутника.

Знайдемо OA – радіус описаного кола:

З ΔSAO:

Отже, об’єм V піраміди дорівнює:

Б)

Аналогічно пункту а) знаходимо AC – сторону квадрата. AC = 2b sin α.

Знайдемо OA – радіус описаного кола:

З ΔSAO:

Отже, об’єм V піраміди дорівнює:

В)

Аналогічно пункту а) знаходимо сторону шестикутника. AC = 2b sin α.

Знайдемо OA – радіус описаного кола: OA = 2b sin α.

З ΔSAO:

Отже, об’єм V піраміди дорівнює:

Г) Аналогічно пункту а) знайдемо сторону n-кутника, а = 2b sin α.

Знайдемо R – радіус описаного кола.

Знайдемо висоту n-кутної піраміди:

Отже, V піраміди дорівнює:

Відповідь: а) б) в)

Г)

1259.

Нехай SABC – задана піраміда, AB = 6 см, BC = 25 см, AC = 29 см.

VSABC = 80 см3, SO + (ABC). Проведемо SK + AC, SN + BC, SM + АВ,

Тоді за теоремою про три перпендикуляри OK + AC, ON + ВС, OM + АВ.

Отже, ∠SNO = ∠SKO = ∠SMO.

Оскільки двогранні кути при основі рівні, то вершина проектується в точу O – центр вписаного кола, OM = OK = ON.

ΔSOM = ΔSOK = ΔSON, отже, SN = SK = SM.

Обчислимо півпериметр основи.

Знайдемо площу основи за формулою Герона:

Радіус вписаного кола:

Оскільки V = 80 см 3, то

240 = 60SO; SO = 4 (см).

З Δ SON:

Отже, маємо:

Відповідь:

1260.

Нехай SABC – задана піраміда, AC = 10 м, SB = 16 м,

SA = SC =AB = BC = 13 м.

З ΔSKC:

Знайдемо BK з ΔВСК:

Знайдемо SΔABC за формулою Герона:

З іншої сторони

Звідси

Знайдемо площу трикутника ABC за формулою Герона:

Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1261.

Нехай FABCDE – заданий октаедр.

З ΔABD:

З ΔFOB:

Знайдемо об’єм V піраміди SABCD:

Тоді об’єм V1октаедра:

Відповідь:

1262.

Нехай ABCDA1B1C1D1- куб. Проведемо перерізи через середини кожних трьох ребер куба, які виходять з однієї вершини, отримаємо чотирнадцятигранник; 8 пірамід. Знайдемо об’єм однієї такої піраміди MKDL.

Об’єм 8 пірамід

Об’єм куба V = а3.

Отже, об’єм 14-гранника дорівнює:

Відповідь:

1263.

Нехай S1- площа піраміди, H1 – висота піраміди, S2- площа перерізу, H2- висота від вершини піраміди до перерізу.

Знайдемо об’єм піраміди: V1=S1 × H1.

Знайдемо об’єм піраміди з основою – паралельним перерізом: V2 = S2 × H2.

За властивістю паралельних перерізів піраміди маємо:

За умовою V1 = V2, отже S1 × H1 = S2 × H2,

звідси

1264.

Нехай вимір мила а, b, с.

З точки зору геометрії мило – це паралелепіпед.

Знайдемо об’єм мила V1 = а, b, с.

Знайдемо об’єм мила через 7 днів.

Отже, за 7 днів витрачено мила

Звідси маємо пропорцію

x = 1. Отже, мила залишилося на 1 день.

Відповідь: 1 день.

1265.

Нехай BC = B1C1 = 12м, CC1 = BB1 = 24м. BK = 4 м, ∠ABC = 120°,

∠KBA = ∠ABC – 90° = 120° – 90° = 30°.

Отже, об’єм котловану дорівнює: V = SABCD × BB1.

Відповідь: ні.

1266.

Нехай ABCDA1B1C1D1- зрізана піраміда, AB = BC = CD = DA = 5 см,

A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1A1 = 2 см, C1CDD1 + ABCD, ∠K1KO = 45°, ∠M1MO = 90°.

Розглянемо чотирикутник KK1M1M – це прямокутна трапеція.

Проведемо P + KM, тоді отримаємо K1M1 = PM = 2 см,

KP = KM – PM = 5 – 2 = 3 см.

Оскільки ∠K1KO = 45°, то K1P = KP = 3 см.

Отже, об’єм зрізаної піраміди:

Відповідь: 39 см3.

1267.

Нехай SABC – задана піраміда SO2 = O2O1 = O1O,

(A2B2C2) ? (ABC), (A1B1C1) ? (ABC), AC = BC = AB = 6 см.

Проведемо SK + AC, тоді за теоремою про три перпендикуляри OK + AC,

Точка O – центр вписаного кола.

З прямокутного ΔSOK:

Нехай V – об’єм піраміди SАВС; V2 – об’єм піраміди SA1B1C1; V3- об’єм піраміди SA2B2C2.

За властивістю паралельних перерізів піраміди маємо:

Аналогічно,

Знайдемо

Відповідь:

1268.

Нехай H – висота зрізаної піраміди.

Тоді, за властивістю перерізів піраміди, паралельних основі маємо:

або 5H = 45 , H = 9.

Отже, знайдемо об’єм V:

1269.

Нехай ABCD – трикутна піраміда, в якій AD = BD = CD = AB = AC = a, BC = b.

Проведемо DO + (ABC), DO – висота, O – центр описаного кола навколо ΔABC (оскільки AD = DB = CD, то і OA = OB = OC).

Нехай R – радіус цього кола, M – середина BC, ∠ABC = α, тоді

За теоремою синусів:

З ΔADO:

Відповідь:

1270.

За умовою SABC – піраміда, в якій ABC – рівнобедрений трикутник,

AB = BC, (SAC) + (ABC), ∠ABC = α.

Проведемо SC + AB, SM + BC, SK + AC, тоді за теоремою про три перпендикуляри LK + AB, MK + BC, отже, ∠SLK = ∠SMK = φ, ∠K = 1.

З ΔSLK: SK = LK × tg ∠SLK = l × tgφ.

З ΔLBK:

З ΔABK :

Отже, об’єм піраміди дорівнює:

Відповідь:

1271.

Нехай SABC – задана піраміда, в ΔABC: ∠ABC = 90°, AB = a, ∠BAC = α,

(SAC) + (ABC). Проведемо SL + AB, SM + BC, SK + AC,

Тоді за теоремою про три перпендикуляри LK + AB, MK + BC,

Отже ∠SLK = ∠SMK = 45°.

BK + AC (за теоремою про три перпендикуляри).

З ΔABK : AK = AB × cos ∠BAK = а × cos α.

З ΔALK : LK = AK × sin ∠LAK = a × cos α ×· sin α.

Розглянемо ΔSLK, оскільки ∠SLK = 45°, то і ∠LSK = 45°,

Отже, ΔSLK – рівнобедрений SK = LK = а × cos α × sin α.

З ΔABC: BC = atgα. Отже, об’єм піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1272.

Нехай SABCDEF – задана піраміда із стороною а.

Проведемо AK + SB, CK + SB, тоді ∠AKC = α.

ΔSBO – ΔBKM (оскільки це прямокутні трикутники (∠BKM = ∠SOB = 90°),

∠SBO – спільний). Тоді

З ΔСКМ: CM = BC cos ∠MCB,

∠MCB = ∠NOC (як кути із взаємно перпендикулярними сторонами).

Отже, ∠MCB = 30° і

З ΔBKM:

З ΔBMC:

Отже,

Відповідь:

1273.

Нехай SABC – заданий тетраедр, AB = BC = AC = SA = SB = SC = а.

SO + (ABC).

BM – медіана, висота і бісектриса,

З ΔSOB:

Отже, об’єм тетраедра дорівнює:

Оскільки утворений многогранник має чотири грані правильні трикутники, а чотири грані правильні шестикутники, то

Окрім многогранника, утворилося чотири тетраедра.

Отже, об’єм V1одного з утворених тетраедрів дорівнює:

Об’єм V2чотирьох тетраедрів дорівнює:

Отже, об’єм многогранника V3 дорівнює:

Відповідь:

1274.

Задано піраміду РАОВ, де O(0; 0; 0), А(2; 0; 0), В(0; 5; 0), Р(1; 2; 6).

Проведемо PO1 + (OAB), тоді PO1 = 6.

Відповідь: 10.

1275.

Через точки A і D проведено площини, перпендикулярні площині BEFC.

Тоді отримаємо піраміду, яка складається з двох частин.

ABLCK і DPEFQ і призми AFKPDQ.

Знайдемо об’єм піраміди:

Отже, в основі піраміди лежить квадрат зі стороною 12 см, висота піраміди дорівнює 4 см.

Знайдемо об’єм призми: в основі лежить трикутник зі стороною основи 12 см, висотою 4 см, і висотою призми 8 см.

Отже, об’єм горнеда дорівнює

Відповідь: 384.

1276.

Нехай SA1 = SB = SC = а.

Позначимо висоту SO = H.

З ΔSOB:

Сторона

Отже,

Дослідимо функцію

На найбільше значення, якщо H? [0; а].

а2 = 3H2;

Знайдемо значення V(0), V(а),

V(0) = 0, V(а) = 0,

Отже, найбільше значення об’єму даної трикутної піраміди дорівнює

якщо

Відповідь: якщо

1277.

Нехай SA1A2A3… – n-кутна правильна піраміда, SA1 = SA2 = SA3 = … = a,

SO + (A1A2A3).

Нехай ∠SA1O = φ, тоді з ΔSA1O: A1O = SA1cos∠ = acos∠, SO = SA1sin∠ = asin∠.

Дослідимо функцію

Де φ ? [0; 90°] на найбільше значення:

V′(φ) = 0; cos3φ – 2 cos φ × sin2φ = 0; cos φ(cos2φ – 2 sin2φ) = 0;

Cos φ(3 cos 2φ – 1) = 0; cos φ = 0 або 3cos 2φ – 1 = 0;

N? Ζ; φ = 90° + 180°n або n? Z.

Проміжку [0; 90°] належать лише значення φ = 90° і

V(0) = 0; V(90°) = 0;

Отже, найбільше значення об’єму –

Відповідь:

1278.

Нехай SABCD, S1ABCD – піраміди, AB = BC = CD = DA = a, SA + (ABCD),

SD1+ (ABCD). Добудуємо наші піраміди до паралелепіпеда, тоді спільна частина двох пірамід буде дорівнювати частині паралелепіпеда.

Відповідь:

1279.

Нехай ABCD – заданий тетраедр, AB = CD = с, AC = BD = b, AD = BC = с.

Добудуємо цей тетраедр до прямокутного паралелепіпеда: через мимобіжні прямі DC і AB, AC і BD, AD і BC проведемо паралельні площини. При взаємному перетині вони утворюють паралелепіпед. Відстань, наприклад, між ребрами тетраедра DC і AB є ребро DE (абоKC). Отже, знайдемо ребра паралелепіпеда х, у, z, якщо діагоналі граней паралелепіпеда дорівнюють а, b, с:

Розв’язавши систему, отримаємо:

Отже, об’єм

Відповідь:

1280.

Побудуємо переріз ABMN (MN? AB? CD). Об’єм піраміди SABCDпозначимо V; об’єм піраміди SABMN – V1.

Об’єм піраміди V1дорівнює сумі об’ємів V2 і V3 пірамід SBMN і SBAN.

Порівняємо об’єми пірамід SBMN і SBAN.

Приймемо за основ цих пірамід грані SMN і SCD, точка В – спільна вершина пірамід.

Оскільки то отже,

З цього випливає, що звідси

Розглянемо піраміди SBAN і SBAD. За їх основи приймемо грані SAN і SAD, точка В – спільна вершина цих пірамід.

Оскільки N – середина ребра CD, то отже,

Знайдемо об’єм

Об’єм другої відсіченої частини дорівнює а відношення об’ємів частин дорівнює 3 : 5.

Відповідь: 3 : 5.

1281.

SABCD – правильна піраміда, SO1+ (ABC), O – центр кулі, вписаної в SABCD, OO1 = r, SM +CD, тоді ∠SMO1 = α. A1, B1, C1, D1- точки дотику кулі до бічних граней піраміди: OA1 = OB1 = OC1 = OD1 = г.

D1B1 ? DC, A1C1 ? AD, тоді D1B1 ? A1C1, A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1.

OA1B1C1D1- правильна піраміда.

Із ΔO1OM:

Із ΔSO1M:

ΔSO2C1- ΔSO1M, тоді або

Відповідь:

1282.

Нехай A i D – середини ребер ME і NL, основи заданої піраміди FEMNL, BC – лінія перетину AFD з даною площиною, дотичною до кулі, вписаної в піраміду, O – проекція вершини F на основу, NL + AD, отже NL + FD (за теоремою про три перпендикуляри), і NL +(AFD), (AFD) + (FNL).

Кут між FO і бічною гранню FNL як раз і є ∠OFD. BC? AD, отже ABCD – рівнобока трапеція, в яку можна вписати коло.

Нехай CK – висота трапеції ABCD, тоді

Але оскільки об’єми подібних пірамід пропорційні кубам відповідних ребер. Отже,

Відповідь:

1283.

Нехай K – середина висоти SO правильної піраміди SABCD. MK + BS, MK = m, SF + CD, тоді OF + CD, тобто CD + (OFS), (OFS) + (SCD), KN + (SDC), KN = b.

Нехай SO = Н, OF = х, тоді

ΔFSO ~ ΔKSN, отже або

ΔBSO ~ ΔKSM, отже або

Отримуємо систему:

Звідси:

Підставимо в перше рівняння системи, отримаємо:

звідси

Отже,

Відповідь:

1284.

Нехай у зрізаній піраміді ABCA1B1C1 AB = BC = АС = 6см,

A1B1 =B1C1 =A1C1 = 2см. Проведемо EE1+ AC, DE + AC, тоді ∠E1EC1 = 30°.

З ΔADE:

З ΔA1D1E1:

Чотирикутник E1D1DE – прямокутна трапеція.

Проведемо E1K + ED.

З ΔE1EK:

Отже, об’єм зрізаної піраміди V дорівнює:

Відповідь:

1285.

Нехай ABCA1B1C1- зрізана піраміда, A1B1ML? CC1, O1O = H.

Якщо відповідні сторони основ пропорційні числам 1:3, то площі основ будуть пропорційні числам 1 : 9.

S1- площа ΔA1B1C1, S2- площа

V1- об’єм зрізаного конуса

V2- об’єм призми ABCA1B1C1, V3 = S1× H.

V3- об’єм фігури, що залишилася:

Відповідь:

1286.

ABCA1B1C1- правильна зрізана піраміда. A2C2- середня лінія трапеції AA1C1C, A2C2 = l. O3O1 = O3O1 де O3- центр кулі, вписаної в зрізану піраміду ABCA1B1C1, тоді O2O3 = d і O2O1 = O3O1 + d, OO2= OO3- d, де O2- центр кулі, описаної навколо зрізаної пірамідиABCA1B1C.

Нехай AB = a, A1B1= b, тоді маємо: OO1 = 2h.

Піраміда O2ABC – правильна, тоді

Піраміда O2A1B1C, – правильна, тоді

Тоді маємо рівняння AO2 =A1O2або

Або

Проведемо AL + BC, A1K + B1C1, KM + (ABC).

Тоді із ΔKLM: KL2 = KM2 + ML2або

Із ΔO1O3K:

Із ΔOO3L:

Враховуючи, що ΔO3KL – прямокутний, маємо:

Або

ab = 12h2.

Отже, маємо систему:

Відповідь: