Об’єми призми і циліндра
1.
Радіус циліндричної цистерни відомий, а висоту рідини заміряємо за допомогою вертикального прута і знайдемо об’єм рідини за формулою об’єму циліндра.
2.
Об’єм сараю V складається з об’єму паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 і об’єму призми A1ED1B1FC1 в основі якої лежить рівнобедрений прямокутний трикутник.
1 випадок
AA1 = 6м, AD = 7,5м, CD = 12м. 
3 ΔA1ED1: ∠A1ED1 = 90°, 
2 випадок
AΑ1 = 6 м, AD = 12 м, DC = 7,5 м.
3 ΔΑ1ED: ∠A1ED1 = 90°, 
2A1E2 = 122; 
Відповідь: 1) 708,75 м3; 2) 810 м3.
4.
Об’єм V призми знайдемо за формулою: V = Sосн × H, де S – площа основи,
H – висота призми, H = 2 м, 
де а – сторона основи.
Відповідь: 
5.
3
З ΔKСO: 
Знайдемо площу правильного шестикутника. Вона складається з площ шести правильних трикутників. 
M = р × V = 2,1 × 253,31 = 531,95 = 532 (кг).
Відповідь: 532 кг.
6.
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – задана призма, FE = FF1 = 10 дм.
Відповідь: 
7.
Нехай ABCDA1B1C1D1- задана призма, АВ = ВС = CD = AD = 5 см,
∠BAD = 30°, АА1 = 10 см.
Відповідь: 225 см2; 125 см3.
8.
Нехай ABCDA1B1C1D1- задана призма. АВ = ВС = CD = AD, 
3 ΔABD: BD2 = AB2+ AD2; 2AB2= Q; 
Відповідь: 
9.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – задана правильна призма, АВ = ВС = АС = 8 дм. Проведемо B1D + АС, BD + АС (за теоремою про три перпендикуляри). ∠B1DB – лінійний кут двогранного кута між площинами ABC + АВ1С. ∠B1DB = 45°. AD = DC (оскільки BD є і медіаною ΔАВС).
З ΔABD: 
З ΔB1BD: BB1 = BD (оскільки ∠B1DB = 45°). 
Відповідь: 192 дм3.
10.
1)
Нехай АВСА1В1С1 – задана пряма призма, ∠BAC = 120°, АВ = 5 см, АС = З см.
З ΔАBС за теоремою косинусів знайдемо ВС:
35 = BB1× 7; BB1 = 5.
З ΔABC: 
2)
Нехай ΑΒΟΑ1Β1Ο1 – задана пряма призма, ∠AB1C = 60°, АВ1 = 3 дм, СB1 = 2 дм.
З ΔAВ1С за теоремою косинусів: 
AB + BB1, BC + BB1, отже, ∠ABC = 90°.
Нехай AB = x, BC = y.
З ΔABC: AC2= AB2 + BC2; x2+ y2 = 7.
3 ΔAAB1B: B1B2 = AB21 – AB2; B1B2 = 9 – x2.
3 ΔB1BC: B1B2= CB21 – BC2; B1B2 = 4 – y2.
Додамо почленно дві останні рівності: 2Β1B2 = 13 – (x2 + у2) = 13 – 7 – 6;
В1В2 = 3; 
х2 = 9 – 3 = 6; 
у2 = 4 – 3 = 1;
У = 1; BC = 1. 
Відповідь: 1) 
11.
Нехай АВСА1В1С1 – задана пряма призма, АВ = ВС = 10, АС = 12, ∠B1AB = 60°.
З ΔАВ1В: 
Знайдемо площу трикутника ABC за формулою Герона:
де 
Відповідь: 
12.
НехайАВСА1В1С1-задана призма, 
∠ABC = 30°, BB1 = 1 см.
3=АВ × 1; АВ = 3(см). 
4 =ВС × 1; BС = 4 (см).
V = SABC× BB1 = 31 = 3 (см 3).
Відповідь: 3 см3.
13.
Нехай в даній призмі сторона основи дорівнює а, тоді BF = 2а.
За умовою В1Н = 31 дм, B1F = 35 дм.
З прямокутного ΔBFH: 
З Δ BB1H: 
З ABB1F: 
Порівнявши праві частини останніх двох рівностей, отримаємо:
312 – 3а2 = 352 – 4а2; a2 = 352 – 312; а2 = 264; тоді 
Об’єм V призми дорівнює: 
Відповідь: 
14.
Нехай ABCA1B1C1 – задана призма. SABC = 21 см2, 
AB = a, BC = b, CA = c, BB1 = H. 
a × H = 40; 
b × Η = 68; 
с × H = 84; 
Знайдемо площу ΔABC за формулою Герона: 
Де 
21H2 = 1344; H2 = 64; H = 8 (см).
Отже, об’єм призми V дорівнює: V = SABC × H = 21 × 8 = 168 (см3).
Відповідь: 168 см3.
15.
Нехай в даній призмі сторона основи дорівнює а, тоді BE = 2a.
BF = ВВ1 = F1F = FA, В1E = 14 дм.
3 ΔBEF: 
З ΔΒ1BΕ: 
Зa2 + 4a2 = 196; 7a2 = 196; 
Відповідь: 
16.
Нехай в заданій призмі сторона основи дорівнює а, висота – Н.
Sбіч. = Q, Sосн. = S. 
Sбіч. = 6а × Н; 6а × Н = Q;
Відповідь: 
17.
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F – задана призма.
Нехай АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = a,
AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = ЕЕ1 = FF1 = H.
Знайдемо об’єм призми V: 
Оскільки об’єми двох частин відносяться як 1 : 3,
То V1- об’єм першої частини дорівнює: 
Звідси 
– площа основи першої частини.
V – об’єм другої частини; 
Звідси S2- площа основи другої частини дорівнює 
3 ΔABF за теоремою косинусів маємо: 
Отже, 
Відповідь: 
18.
Нехай ABCDA1B1C1D1- дана пряма призма, ABCD — паралелограм, АD = а. Проведемо Β1Κ + ΑD, ВК + ΑD (за теоремою про три перпендикуляри).
∠Β1ΚΒ = β. 
S=AD × B1K; S = а × B1 K; 
3 Δ B1 KB: 
Отже, об’єм призми V дорівнює: 
Відповідь: 
19.
Нехай АВСА1В1С1 – дана призма, АС = СВ; ∠C = 90°; 
Sбіч. = 2Sосн.
З ΔABC: 
Відповідь:
20.
Нехай ABCDA1B1C1D1- задана призма. АВ = CD; ВС = 4 см; AD = 8 см;
Проведемо МК + AD, LK + AD, тоді ∠MKL = 60°.
12МК = 96; МК = 8 (см).
З Δ MLK: LK = МК × cos ∠MKL = 8 × cos 60° = 4 (см).
Отже, об’єм призми V дорівнює:
Відповідь: 
21.
Нехай ABCD – осьовий переріз циліндра. SABCD = S, Sосн. = Q – Socн. = πnr2;
Q = πr2; 
SABCD = AB × AD; 
Відповідь: 
22.
Нехай ABCD – переріз циліндра, (ABCD) || ОО1, 
AD = 120°, K = а, АС = 4а.
∠AОD = 120° (оскільки ∠AОD – центральний кут, який стягує дугу в 120°).
OK + AD, AO = ОD, отже, ΔAOD – рівнобедрений.
∠DOK = ∠KOA, АК = KD, оскільки ОК є бісектрисою і медіаною.
З ΔКОА: АО = 2ОК = 2а; 
З ΔCAD: 
Отже, об’єм циліндра V дорівнює V = Sосн. × CD = π × AO2 × CD = π × 4а2 × 2а = 8πа2.
Відповідь: 8πа2.
23.
Нехай ABCA1В1C1 – призма, вписана в циліндр,
ABC – прямокутний трикутник, ∠В = 90°, АВ = a, ∠BAC = α; АА1 = Н.
Оскільки ΔАВС – прямокутний і вписаний в коло, то центр описаного
Кола лежить на середині гіпотенузи.
З ΔАВС: 
Висота циліндра співпадає з висотою призми.
Отже, об’єм циліндра V дорівнює; 
Відповідь: 
24.
Нехай ABCD, ABEF – площини, які перетинають циліндр радіуса R,
SABCD= SABЕF = S. ВС + BA, ЕВ + AB, отже, ∠ВСЕ – лінійний кут двогранного кута
Між площинами ABCD і ABEF. ∠ВСЕ = α.
Оскільки площі перерізів однакові, що ВС = BE. Отже, ΔВСЕ – рівнобедрений.
З ΔВСЕ за теоремою синусів маємо: 
СЕ = 2R × sin∠СВЕ = = 2R sin α.
Проведемо BL + СЕ. CL = LE, 
оскільки висота рівнобедреного
Трикутника є і медіаною і бісектрисою.
З ΔBLE: 
Sabef = AB × ВЕ;
Отже, об’єм циліндра V дорівнює:
Відповідь: 
25.
1) Нехай сторона основи правильної трикутної призми – а,
Радіус циліндра – R, висота призми і циліндра – Н.
Виразимо сторону основи трикутника через радіус описаного кола: 
Отже, 
2) Нехай сторона основи правильної чотирикутної призми – а,
Радіус основи циліндра – R, висота призми і циліндра – Н.
Vпризми = Sосн × Н = а2Н.
Виразимо сторону основи призми через радіус описаного кола: 
Отже, Vпризми = 2R2H; Vциліндра = πR2H. 
3) Нехай сторона основи правильного шестикутника – a, радіус основи
Циліндра – R, висота призми і циліндра – Н. 
Виразимо сторону основи призми через радіус описаного кола: R = а.
Отже, 
V циліндра = πR2H. 
4) Нехай R – радіус циліндра, Н – висота циліндра і призми.
V циліндра = πR2H. 
5) Нехай R – радіус основи циліндра, Н – висота циліндра і призми.
V циліндра = πR2H. 
Відповідь: 1) 
2) 2 : π; 3) 
4) 
5) 
26.
Нехай SABCDEF – задана піраміда, в яку вписано циліндр,
АВ = ВС = CD = DE = EF = FA = a.
Проведемо SK + ED, OK + ED (за теоремою про три перпендикуляри),
∠SKO = а. Нехай O1К1 = R, тоді O1O = 2R.
Коло верхньої основи циліндра дотикається грані SED в точці K1.
ΔODE – рівнобедрений. Проведемо OK + ED. ОК – висота,
Бісектриса и медіана, ЕК = KD.
З ΔОКЕ: 
З ΔSOK: 
ΔSO1K1- ΔSOK (∠OSK – спільний, ∠SK1O1 = ∠SKO).
З подібності трикутників: 
Отже, об’єм циліндра V дорівнює:
Відповідь:
27.
Нехай а, b, с – сторони перпендикулярного перерізу трикутної призми.
А + b + с = 90, площі бічних граней S 1 = 450 см 2, S2 = 522 см 2, S3 = 648 см2,
L – бічне ребро. S 1 =а × l, 450 = а × l; S2 = b × l, 522 = b × l; S3 = с × l, 648 = с · l.
Додамо три останні рівності: 1620 = l(а + b + с);
1620 = l × 90; l = 18 (см); а = 25 см, b = 29 см, с = 36 см.
Знайдемо площу перпендикулярного перерізу за формулою Герона:
де 
Об’єм призми V дорівнює: V = S × l = 360 × 18 = 6480 (см3).
Відповідь: 6480 см3.
28.
Нехай АВСА1В1С1 – дана призма, АО, – її висота, ∠ А1АО = 60.
Якщо О – центр правильного трикутника ABC, сторона якого 
То його площа 
а радіус описаного кола 
З прямокутного Δ А1АО знаходимо: 
Тоді об’єм призми: 
Відповідь: 
29.
Нехай АВСА1В1С1 – задана призма, 
ВВ1 = 10см.
Проведемо А2B2 + ВВ1, С2В2 + ВВ1, тоді ∠A2B2C2 = 120°.
30 = А2В2 × 10; А2В2 = 3 (м).
40 = С2В2 × 10; С2В2 = 4 (м).
Об’єм призми V дорівнює: 
Відповідь: 
30.
Оскільки площина проходить через бічне ребро і медіану основи, то вона ділить трикутну призму на рівновеликі частини. Оскільки медіани трикутника перетинаються в одній точці, то площини, які поділяють призму на рівновеликі частини, перетинаються по одній прямій.
Відповідь: так.
31.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – похилий паралелепіпед.
АА1 = BB1 = CC1 =DD1 =АВ = BC = CD = DA=A1B1 = B1C1= C1D1 = D1A1 = a.
(ΑΑ1D1D) + (ABC); (BB1C1C) + (ABC).
a = 5 см. 3 ΔA1AK: 
Отже, об’єм паралелепіпеда: 
Відповідь: 
32.
Нехай АВСА1В1С1 — похила трикутна призма, АС = AB, ВС = а, АА1 = b.
Проведемо перпендикулярно переріз А2В2С2, А2В2 + АА2, А2С2 + AA1
Тоді ∠С2А2В2 = 120°.
Проведемо в рівнобедреному трикутнику висоту АК, тоді КВ2 = КС2,
∠C2A2K = ∠B2A2K = 60° (оскільки висота є медіаною і бісектрисою).
З ΔA2В2К: 
Отже, об’єм призми дорівнює: 
Відповідь: 
33.
Нехай АВСА1В1С1 – похила трикутна призма, AB = АС = 7 см,
∠AA1C – 45°, АА = 7 см.
З ΔАА2К: 
Отже об’єм призми дорівнює:
Відповідь: 
34.
Нехай ABCDA1B1C1D1- задана призма. АВ = ВС = CD = DA = а, СС1 = b.
Об’єм призми V = SABCD× С1К. Знайдемо С1К.
Нехай ∠C1CK = α, тоді з ΔC1CК: С1К = C1C × sin∠C1CK = b × sin α.
За умовою BC × CD × C1C = 2; a2b = 2a2 × b sin α; b = 2b sin a; b(1 – 2 sin α) = 0;
B ≠ 0; 1 – 2 sin α = 0; 
Отже, ΔC1CK = 30°.
Відповідь: 30°.
35.
Нехай ABCDA1B1C1D1- задана пряма призма, А1А = 52 см.
S1 : S2 : S3 : S4 = 7 : 15 : 20 : 24. Звідси маємо АВ : ВС : CD : DA = 7 : 15 : 20 : 24.
Нехай АВ = 7х, ВС = 15x, CD = 20х, DA = 24х, Знайемо площу чотирикутника:
де 
Нехай ∠BAD = α, тоді ∠BCD = 180° – α.
Площа чотирикутника ABCD складається з площ трикутників ABD та BCD.
Отже, 
Отже, маємо: 234×2 = 234×2 × sin α; sin α = 1; ∠BAD = 90°.
Тоді маємо BD – гіпотенуза AABD, BD = 2R, де R – радіус описаного кола,
BD = 50 (см).
З ΔABD: АВ2 + AD2 = ВD2; 
25x = 50; x = 2.
Отже, SABCD= 234×2 = 234 × 4 = 936 (см2), AD = 24x = 49 (см).
З ΔAA1D: 
V = S × AA1 = 936 × 20 = 18 720 (см3).
Відповідь: 18 720 см2.
36.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – задана призма, SABCD = 306 см2,
Проведемо АК II CD. 
Знайдемо площу ΔАВК за формулою Герона:
З другого боку 
АА1 = 5(см).
Отже, об’єм призми V дорівнює: V = SABCB× АА1 = = 306 × 5 = 1530 (см3).
Відповідь: 1530 см3.
37.
Нехай DABC – заданий тетраедр, DB = DA = DC = АB = АС = AD = а.
З ΔABО: 
З ΔDCO: 
З ΔВОО: 
Отже, об’єм циліндра дорівнює:
Відповідь: 
38.
Розглянемо осьовий переріз шара і циліндра.
Позначимо висоту циліндра KL, = 2h, радіус сфери – R, радіус циліндра – г.
З ΔAOL: 
Об’єм циліндра V = π × AL2 × KL = π × г × 2h = π(R2 – h2) × 2h = 2πhR2 – 2πh3. Необхідно знайти найбільше значення функції V(h), якщо h? (0; 2R).
V′(h) = 2πR2 – 6πh2; V′(0) = 0; R2 – 3h2 = 0; 
Точка 
– буде точкою максимуму для функції V(h), оскільки похідна при переході через цю точку змінює знак з “+” на “-“. Отже, циліндр має найбільший об’єм при
Відповідь: 
