Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x
УРОК 19
Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x
Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arctg х і у = arcctg x.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Фронтальна бесіда з класом за питаннями 6, 7, 9-12, до “Запитання і завдання для повторення” розділу II.
2. Самостійна робота.
Обчисліть:
А) arcsin 1 – 2arccos 
. (2 бали)
Б) 2 arccos 0,5 – 3 arcsin 
. (2 бали)
В) sin 
(2 бали)
Г) sin 
. (3 бали)
Д) cos (? – arcsin
Варіант 2
А) 2 arccos 
+ arcsin 
. (2 бали)
Б) 
arcsin(-l) – 
arccos 
. (2 бали)
В) cos 
. (2 бали)
Г) cos 
. (3 бали)
Д) sin
. (3 бали).
Відповіді: В-1: а) – ?; б) 
; в) -0,5; г); д) 0. В-2. а) 
; б) -1,25; в); г); д) 1.
II. Повідомлення теми уроку
III. Сприймання і усвідомлення поняття arctg a і властивостей функції у = arctg х
Функція у = tg х на проміжку
зростає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого а рівняння tg х = а має єдиний корінь із проміжку , який називається арктангенсом числа а і позначається arctg а.Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arctg 
= 
, бо tg = і 
.
Приклад 2. arctg(-1) = – 
, бо tg 
= -1 і –.
Виконання вправ
1. Обчисліть:
А) arctg 
; б) arctg 0; в) arctg 1; г) arctg 
; д) arctg (-).
Відповідь: а) ; б) 0; в) ; г) – ; д) – .
2. Які з поданих виразів мають смисл:
А) arctg?; б) arctg ; в) arctg?2?
Відповідь: а); б); в).
Графік функції у = arctg х: одержимо із графіка функції у = tg х, хПеретворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 120).
Розглянемо властивості функції у = arctg х:
1. D(y)=R.
2. Е(у) = .
3. Графік симетричний відносно початку координат, функція непарна: arctg (-х) = – arctg х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1< х2 то arctg х1 < arctg х2
5. у = 0, якщо х = 0.
6. у > 0, якщо х > 0; у < 0, якщо х < 0.
Виконання вправ
1. Порівняйте числа:
A) arctg (-3) і arctg 2; б) arctg (-5) і arctg 0; в) arctg і arctg 
.
Відповідь: 4) arctg (-3) < arctg 2; б) arctg (-5) < arctg 0; в) arcrg > arctg .
2. Розташуйте в порядку зростання числа:
А) arctg 50; arctg (-5); arctg 0,5; б) arctg 1,2; arctg?; arctg (-3).
Відповідь: а) arctg (-5); arctg 0,5; arctg 50; б) arctg (-3); arctg 1,2; arctg?.
3. Розв’яжіть рівняння:
A) arctg(5х – 1) = ; б) arctg(3 – 5х) = – .
Відповідь: а) х = 
; б) х = 
.
V. Сприймання і усвідомлення поняття arcctg a і властивостей функції у = arcctg х
Функція у = ctg х на інтервалі (0; ?) спадає і приймає всі значення із R, тому для будь-якого числа а в інтервалі (0; ?) існує єдиний корінь рівняння ctg х = а. Це число називають арккотангенсом числа а і позначають arcctg a.
Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; ?), котангенс якого дорівнює а.
Приклад 1. arcctg = , бо ctg = і (0; ?).
Приклад 2. arcctg 
= 
, бо ctg = – і (0; ?).
Виконання вправ
1. Обчисліть: a) arcctg 1; б) arcctg ; в) arcctg 0; г) arcctg (-1); д) arcctg .
Відповідь: а) ; б) ; в) 
; г) 
; д) 
.
Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х (рис. 121).
Укажемо властивості функції у = arcctg х:
1. D(y)=R.
2. E(y) = (0; ?).
3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arcctg (-х) = ? – arcctg х.
4. Функція спадна. Якщо х1< х2 то arcctg х1 > arcctg х2.
5. х = 0, якщо у = .
6. у > 0 для всіх хR.
Значення обернених тригонометричних функцій можна обчислювати за допомогою таблиць або мікрокалькулятора.
VI. Підведення підсумків уроку
VII. Домашнє завдання
Розділ II § 1 (4, 5). Запитання і завдання для повторення розділу II № 6-11, 12 (3, 4, 9, 10).
