Основні властивості неперервних функцій
Математика – Алгебра
Границя
Основні властивості неперервних функцій
Теорема 1. Якщо функції і
є неперервними в точці
, то в цій точці будуть неперервними і функції
,
.
Теорема 2. Якщо і
є неперервними в точці
і
, то в точці
є неперервною також і функція
.
Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні функції є неперервними на будь-якому проміжку, у кожній точці якого вони визначені. Графік неперервної функції на такому проміжку є безперервною лінією.
Теорема 3. Нехай функція неперервна на проміжку і приймає на його кінцях значення різних знаків. Тоді вона обертається в нуль хоча б в одній точці цього проміжку. Якщо функція
є монотонною на
, то вона перетворюється на 0 тільки один раз.
Наслідки
1) Якщо функція неперервна на проміжку , то вона дістає на цьому проміжку будь-яке значення M, яке розташоване між
і
.
2) Якщо функція неперервна на проміжку і не перетворюється на нуль всередині цього проміжка, то вона має один і той самий знак в усіх внутрішніх точках проміжку.
Ці властивості дають змогу обгрунтувати метод інтервалів, який широко застосовується для розв’язування нерівностей.