ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

РОЗДІЛ 2 ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
& 6. ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Важливу роль у дослідженні паралельності прямих відіграють поняття січної та деяких пар кутів.

Нехай а і b – дві довільні прямі площини. Пряму с, що їх перетинає, називають січною прямих а і b (мал. 73).

Прямі а і b з їх січною с утворюють 8 кутів. На малюнку 73 їх пронумеровано.

Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви: внутрішні різносторонні кути: 1 і 3, 2 і 4; внутрішні односторонні кути: 1 і 4, 2 і 3; відповідні кути: 1 і 8, 2 і 7, 3 і 6, 4 і 5. Зверніть увагу! Якщо два які-небудь внутрішні різносторонні кути рівні, то рівні також внутрішні різносторонні кути іншої пари (мал. 74). Якщо, наприклад, ∠1 = ∠3, ТО ∠2 = ∠4, бо кути, суміжні з рівними, – рівні.

Випадок, коли внутрішні різносторонні кути рівні, заслуговує на особливу увагу, тому що саме за цієї умови прямі а і b паралельні.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 73

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 74

Теорема 3 (ознака паралельності прямих)

Дві прямі паралельні, якщо із січною вони утворюють рівні внутрішні різносторонні кути.

Доведення. Нехай січна АВ перетинає прямі a i b так, що утворені при цьому внутрішні різносторонні кути 1 і 3 дорівнюють один одному. Тоді, як показано ви ще, кути 2 і 4 також рівні. Припустимо, що за такої умови прямі а і b перетинаються в якійсь віддаленій точці С. У результаті утвориться трикутник ABC (на малюнку 75 схематично його зображено у вигляді п’ятикутника). Уявимо, що цей трикутник повернуто навколо точки О – середини відрізка АВ – так, щоб відрізок ОА зайняв положення ОВ. Тоді, оскільки ∠1 = ∠3 і ∠2 = ∠4, промінь АС суміститься з променем ВК, а промінь ВС – з променем АР. Оскільки промені АС і ВС (за припущенням) мають спільну точку С, то промені ВК і АР також мають якусь спільну точку С1 А це означає, що через дві точки С і С1, проведено дві різні прямі. Такого не може бути.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 75

Отже, якщо ∠1 = ∠3, то прямі а і b не можуть перетинатися. А оскільки вони лежать в одній площині і не перетинаються, то вони паралельні: а ‖ b. Це й треба було довести.

Зверніть увагу на спосіб доведення теореми 3. Щоб довести, що прямі а і b паралельні, ми показували, що вони не можуть перетинатися. Тобто припускали супротивне тому, що треба було довести. Такий спосіб міркувань називають методом доведення від супротивного.

На основі доведеної теореми 3 неважко довести й інші ознаки паралельності прямих.

Теорема 4 Дві прямі паралельні, якщо при перетині з січною вони утворюють внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°.

Доведення. Нехай, наприклад, на малюнку 76 сума внутрішніх односторонніх кутів 1 і 4 дорівнює 180°. Сума суміжних кутів 3 і 4 також дорівнює 180°. Тому ∠1 = ∠3. Це – внутрішні різносторонні кути. Якщо вони рівні, то прямі a i b паралельні.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 76

Теорема 5 Дві прямі паралельні, якщо, перетинаючись із січною, вони утворюють рівні відповідні кути.

Доведення. Нехай січна с перетинає прямі а і b так, що утворені при цьому відповідні кути 1 і 8 рівні (мал. 77). Кути 8 і 3 рівні, бо вертикальні. Тому якщо ∠1 = ∠8, ∠8 = ∠3, то і ∠1 = ∠3, звідси випливає, що а ‖ b.

Заслуговує на увагу такий наслідок із теореми 3.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 77

Наслідок Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.

Адже якщо кожна з прямих а і b перпендикулярна до с, то утворені при цьому внутрішні різносторонні кути рівні, бо вони дорівнюють по 90° (мал. 78). Отже, прямі а і b – паралельні.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 78

Для допитливих

1. Кути 5 і 7( а також 6 і 8) називають зовнішніми різносторонніми, а 5 і 8 (а також 6 і 7) – зовнішніми односторонніми кутами (мал. 79). Використовуючи ці поняття, спробуйте сформулювати і довести ще дві ознаки паралельності прямих.

2. Корисно краще зрозуміти сутність методу доведення від супротивного.

Якщо твердження А заперечує твердження В, то такі два твердження називають суперечливими або супротивними одне одному. Із двох взаємно суперечливих тверджень завади одне правильне, а інше – хибне. Тому якщо переконаємося, що твердження А і В суперечливі одне одному і, наприклад, що В неправильне, то можемо бути певні, що твердження А – правильне.

Не слід плутати твердження супротивні з протилежними. Наприклад, якщо йдеться про числові

Вирази і натуральні числа, то твердження: “вираз А – додатний” і “вираз А – від’ємний” або “число n – просте” і “число n – складене” – протилежні, але не супротивні, адже кожне з них може бути неправильним. А от твердження “вираз А – додатний” і “вираз А – недодатний” або “число n – просте” і “число n – непросте” – взаємно суперечливі. Непросте – означає складене або дорівнює 1; недодатне – від’ємне або дорівнює нулю.

Доводячи методом від супротивного, спростовувати треба не протилежне твердження, а супротивне даному.

Спростувати що-небудь – означає показати, що воно неправильне.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 79

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Сформулюйте означення паралельних прямих.

2. Що таке січна двох прямих?

3. Які кути називають внутрішніми різносторонніми? А внутрішніми односторонніми? Покажіть на малюнку.

4. Які кути називають відповідними? Покажіть на малюнку.

5. Сформулюйте і доведіть ознаки паралельності прямих.

Виконаємо разом

1. Як побудувати паралельні прямі, користуючись лише лінійкою і транспортиром?

Накреслимо довільний промінь АВ і відкладемо рівні кути ВАС і АСР, як показано на малюнку 80. Прямі АВ і СР – паралельні, адже кути ВАС і АСР – внутрішні різносторонні, а за побудовою вони рівні.

2. Через кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ проведено промені АK і ВС так, що ∠КАВ = 110°, а ∠АВС = 70°. Чи паралельні ці промені?

– Пряму АВ можна вважати січною прямих АК i ВС (мал. 81).

Кути КАВ і ABC – внутрішні односторонні. Оскільки їх сума 110° + 70° дорівнює 180°, то прямі АК і ВС – паралельні (теорема 4).

Тому і промені АК і ВС – паралельні.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 80

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 81

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

164. Скільки кутів утворюється при перетині двох прямих третьою?

165. Розгляньте малюнок 82 і назвіть пари кутів:

А) внутрішніх різносторонніх;

Б) внутрішніх односторонніх;

В) зовнішніх різносторонніх;

Г) зовнішніх односторонніх; г) відповідних;

Д) суміжних;

Е) вертикальних.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 82

166. Використовуючи малюнок 82, знайдіть суми мір кутів:

А) 1, 2, 3 і 4; 6)1,3, 5 і 7; в) 1,4, 5 і 8; г) 5, 6, 7 і 8.

167. Чи паралельні прямі а і с на малюнку 82, якщо:

A) ∠6 = ∠8; б) ∠7 = 101° і ∠5 = 101°;

В) ∠5 + ∠8 = 180°; г) ∠1 + ∠7 = 180°?

168. Як розташовані прямі а і b, якщо а ⏊ с, b ⏊ с і всі вони лежать в одній площині?

169. Як можуть бути розміщені в просторі прямі а і b, якщо а ⏊ с і b А⏊ с?

170. Запишіть назви пар кутів, зображених на малюнку 82:

А) ∠1 і ∠5; в) ∠7 і ∠2; г) ∠2 і ∠3;

Б) ∠6 і ∠3; г) ∠3 і ∠1; д) ∠8 і ∠5.

171. Відомо, що ∠1 = 87°, ∠ 78° (див. мал. 82). Обчисліть міри кутів 2, 4, 5, 6, 7, 8.

172. Скориставшись малюнком 82, обчисліть:

А) міри кутів 1, 2, 3, 4, 5, 8, якщо ∠7 = 100°, ∠6 = 90°;

Б) ∠1 + ∠4 і ∠2 + ∠3, якщо ∠5 + ∠8 = 170°;

В) ∠4 – ∠5, якщо ∠4 – ∠2 = 10°.

173. Чи паралельні прямі а і с (див. мал. 82), якщо:

А) ∠1 = 50°, ∠7 = 130°;

Б) ∠6 = 65°; ∠8 = 65°;

В) ∠1 + ∠7 = 180°;

Г) ∠2 = 140°, ∠3 на 80° менший від ∠2?

174. ВМ – бісектриса кута КВС (мал. 83). Чи паралельні прямі АС і ВМ, якщо ∠A = 50° і:

А) ∠СВМ = 50°;

Б) ∠АВМ = 130°;

В) ∠BCA = ∠КВМ;

Г) ∠ABM на 50° більший за ∠CAB?

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 83

175. Пряма КР перетинає пряму АВ в точці К, а пряму CD – у точці Р. Чи паралельні прямі АВ і CD, якщо ∠АКР = 90° і ∠КРС = 90°?

176. Пряма КР перетинає пряму АВ в точці К, а пряму CD – у точці Р так, що точки В i D лежать по один бік від прямої КР. Чи паралельні прямі АВ і CD, якщо ∠BKP = 89°39′ і ∠KPD = 90°21′?

177. Через кінці відрізка АВ з одного боку від нього проведено промені АР і ВС. Чи паралельні ці промені, якщо:

А) ∠РАB = 105°, a ∠ABC = 75°;

Б) ∠РАB = 93°, а ∠АВС = 87°?

178. Доведіть, що протилежні сторони прямокутника лежать на паралельних прямих.

Б

179. Прямі а і b з січною с утворюють рівні гострі кути. Чи випливає з цього, що а ‖ b?

180. Знайдіть міри кутів 1 і 2, зображених на малюнку 84, якщо ∠1 + ∠4 = 160° і:

А) ∠4 на 20° менший від ∠1;

Б) ∠2 у 2 рази більший за ∠1;

В) ∠4 : ∠2 = 2 : 3;

Г) ∠4 становить 60 % кута 2.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 84

181. Чи паралельні прямі а і b, зображені на малюнку 85, якщо:

А) ∠4 – ∠1 = 30° і ∠3 = 75°;

Б) ∠1 = 60° і ∠2 : ∠3 = 2 : 1?

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 85

182. Установіть взаємне розташування прямих а, b, с, зображених на малюнку 86, якщо:

А) ∠3 = ∠5 = ∠9;

Б) ∠2 = ∠8 i ∠7 = ∠9;

В) ∠12 = ∠8 і ∠6 + ∠3 = 180°.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 86

183. Січна n перетинає прямі а, b і с так, що кути позначені на малюнку 86 числами 2, 8 і 12, дорівнюють один одному. Доведіть, що прямі а, b і с попарно паралельні.

184. У зображеному на малюнку 87 шестикутнику∠1 = ∠4, ∠2 = ∠5 і ∠3 = ∠6. Доведіть, що кожна сторона даного шестикутника паралельна протилежній стороні.

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 87

185. Чи паралельні прямі а і b, с і d, якщо: ∠1 = 60°, ∠2 – удвічі більший, a ∠2 – ∠3 = 60° (мал. 88)?

186. Як можна побудувати паралельні прямі, користуючись косинцем?

187. Користуючись двома однаковими косинцями, паралельні прямі можна проводити, як показано на малюнку 89. Обгрунтуйте таку побудову.

188. Закінчіть речення: “Щоб дізнатися, чи паралельні дані прямі, треба провести їх січну і виміряти відповідні кути. Якщо…”

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 88

ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ

Мал. 89

Практичне завдання

189. Зробіть модель для ілюстрації доведення теореми 3.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

190. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. У скільки разів зменшиться периметр трикутника, якщо кожну його сторону зменшити на 5 см?

191. Точки К, L і М лежать на одній прямій. KL = 7 см, LM = 3 см. Знайдіть КМ. Розгляньте всі можливі випадки.

192. Прямі АВ і CD перетинаються в точці О, ОМ – бісектриса кута AОС. Знайдіть міри кутів МОВ і MOD, якщо ∠COB = 70°.

193. Один із двох кутів, утворених при перетині двох прямих, на 90° більший за інший. У скільки разів він більший за інший кут?


ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ - Математика