Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників
УРОК 3
Тема. Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників
Мета уроку: ознайомлення учнів із взаємним розташуванням прямої і площини у просторі. Вивчення теореми про належність прямої до площини. Формування поняття перерізу многогранника.
Обладнання: моделі многогранників, схема “Взаємне розташування прямої і площини”, стереометричний набір.
1. Фронтальне опитування.
1) Скільки площин визначають дві прямі, які перетинаються?
2) Скільки площин визначають пряма і точка?
3) Скільки площин можна провести через
4) Скільки площин можна провести через пряму і дві точки, які не належать їй?
2. Перевірка правильності виконання задачі № 6.
Теорема.
Дано: В
?, С? (рис. 12).
Довести: ВС
?.
Доведення
Візьмемо точку А, яка не лежить на прямій ВС (згідно з аксіомою І). Через пряму ВС і точку А проведемо площину?’.
Якщо площини? і?’ збігаються, то площина? містить пряму ВС (рис. 13).
Якщо площини? і?’ різні, то вони перетинаються по прямій а, яка містить
Виконання вправ
1. Доведіть, якщо вершини трикутника АВС належать деякій площині?, то трикутник АВС лежить в цій площині.
2. Доведіть, що чотирикутник АВСD лежить в одній площині, якщо його діагоналі АС і BD перетинаються.
3. Доведіть, що чотирикутник ABCD – плоский, якщо продовження двох протилежних сторін АВ і CD перетинаються.
4. Як перевірити якість виготовлення лінійки за допомогою добре відшліфованої плити?
5. Задача № 9 із підручника (с. 9).
6. Задача № 11 із підручника (с. 10).
Взаємна розміщення прямої і площини
Із доведеної теореми випливає, що площина і пряма, яка не лежить у площині, або перетинаються, або не перетинаються.
Отже, можливі такі випадки взаємного розміщення прямої і площини (схема “Взаємне розміщення прямої і площини”):
А) площина? не має з прямою а спільних точок;
Б) площина? має з прямою а одну спільну точку;
В) пряма а лежить у площині?.
Взаємне розміщення прямої і площини | ||
|
|
|
Завдання.
На предметах оточуючого простору покажіть різні випадки взаємного розміщення прямої і площини.
Поняття перерізу многогранника
У стереометрії розглядають перерізи многогранників.
Перерізом многогранника називається многокутник, який утворюється при перетині многогранника з площиною. Вершини цього многогранника є точками перетину січної площини з ребрами многокутника, а сторони – частинами прямих перетину січної площини з його гранями.
Для побудови простих перерізів необхідно вміти розв’язувати дві опорні задачі:
1) будувати лінію перетину двох площин;
2) будувати точку перетину прямої і площини.
Для побудови лінії перетину двох площин – січної площини і грані многогранника – знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму.
Виконання вправ
1. Дано зображення трикутної піраміди (рис. 15). Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С.
2. Дано зображення куба (рис. 16). Побудуйте переріз куба площиною, яка проходить через пряму АВ і точку С.
3. У трикутній піраміді SABC всі ребра дорівнюють 10 см. Побудуйте переріз піраміди площиною, яка проходить через ребро AS і точку? – середину ребра ВС. Знайдіть периметр побудованого перерізу.
4. Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через діагональ ВD верхньої основи і точку? – середину ребра АА1. Обчисліть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 10 см.
III. Домашнє завдання
§1, ?. 3; контрольне запитання № 4; задача № 10 (с. 9).
Запитання до класу
1) Що можна стверджувати про пряму, дві точки якої належать даній площині?
2) Точки А і В належать площині?, а точка С лежить поза площиною?. Вкажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
А) пряма АС лежить в площині?;
Б) пряма СВ не лежить в площині?;
В) пряма АВ лежить поза площиною?;
Г) пряма АВ лежить в площині?.
