Перпендикуляр і похила. Взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Урок 31

Тема. Перпендикуляр і похила. Взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Мета уроку: формування понять: перпендикуляр до площини, похила, основа похилої, основа перпендикуляра, проекції похилої на площину, відстань від точки до площини. Виявлення взаємозв’язку між довжинами двох похилих, проведених з однієї точки до площини, і довжинами їх проекцій.

Обладнання: стереометричний набір.

Хід уроку

1. Два учні відтворюють на дошці розв’язання задач № 14, 15.

2. Розв’язування

задач.

1) Дано площину?, перпендикулярну до неї пряму а і іншу пря­му b, яка не лежить в площині?. Укажіть, які з наведених твер­джень правильні, а які – неправильні:

А) якщо b || a, то bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?;

Б) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?, то b || а ;

В) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?, то а і b мимобіжні;

Г) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?, то а і b перетинаються.

2) Дано площину?, паралельну їй пряму а і деяку пряму b, яка не лежить в площині?. Укажіть, які з наведених тверджень пра­вильні, а які – неправильні:

А) якщо b || a, то обов’язково b || ?;

Б) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?, то обов’язково

bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекційА;

В) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій? і b перетинає а, то bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекційА;

Г) якщо bПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій?, то b і а обов’язково мимобіжні.

3. Обговорення правильності виконання учнями задач № 14, 15.

Перпендикуляр і похилі, взаємозв’язок між довжинами похилих. проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Перпендикуляром, опущеним з даної точки на дану площину, називають відрізок прямої, перпендикулярної до площини, що міс­титься між даною точкою і площиною.

На рис. 162 пряма AC перпендикулярна до площини? і перетинає її в точці С, отже, відрізок AC – перпендикуляр, опущений з точки А на площину?. Кінець цього відріз­ка, який лежить у площині, тобто точка С, називається основою перпендикуляра.

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Якщо AC – перпендикуляр до площини?, а точка В – відмінна від С точка цієї пло­щини, то відрізок АВ називають похилою, про­веденою з точки А на площину?. Точка В – основа похилої. Відрізок, що з’єднує основи перпендикуляра і похилої, проведених з однієї і тієї самої точки, називається проекцією похилої. На рис. 162 відрізок ВС – проекція похилої АВ на площину?.

Прикладами матеріальних моделей перпендикулярів є: стовпи, теле­візійні вежі тощо.

1. Знайти довжину похилої, якщо довжина перпендикуляра дорівнює 4 см, а проекція похилої на площину – 3 см.

2. Знайти проекцію похилої на площину, якщо похила дорівнює 13 см, а перпендикуляр, проведений з тієї ж точки,- 12 см.

3. Знайти довжину перпендикуляра, якщо похила дорівнює 10 см, а її проекція на площину – 8 см.

4. Скільки перпендикулярів можна опустити з даної точки до даної площини? Чому?

5. Скільки похилих можна провести з даної точки до даної площини?

6. Як слід установити на хрестовині ялинку, щоб вона була перпенди­кулярна до площини підлоги?

7. Як на практиці за допомогою виска перевірити вертикальність встановленого стовпа?

Слід зазначити, що перпендикуляр, опущений з точки, корот­ший за будь-яку похилу, проведену через дану точку.

Відстанню від точки до площини називається довжина пер­пендикуляра, опущеного з цієї точки на площину.

1. Знайти відстань від точки А до граней куба, якщо ребро куба дорів­нює 10 см (рис. 163).

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Рис. 163

2. Із точки S проведено до площини а перпендикуляр SO та похилі SA і SB. Довжини похилих відповідно дорівнюють 13 і 20 см. Дов­жина проекції похилої AS дорівнює 5 см (рис. 164). Знайти від­стань від точки S до площини та довжину проекції похилої SB.

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

Вивчення взаємозв’язку між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекції доречно провести шляхом розв’язування задач.

Задача.

Із деякої точки проведено до площини дві похилі і перпендикуляр. Доведіть, що якщо:

1) похилі рівні, то рівні і їх проекції;

2) проекції похилих рівні, то рівні і похилі.

3) похилі нерівні, то більша похила має більшу проекцію.

Нехай АВПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій? (рис. 165); AC і AD – похилі; AC > BD.

Із? AСВ AC = Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій .

Із? АDB AD = Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій.

Згідно з умовою AC > AD, тоді

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій > Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій;

АВ2 + ВС2 > АВ2 + BD2, або ВС2 > BD2; отже, ВС > BD.

Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій

4) Доведіть: якщо похилі нерівні, то більшій проекції відповідає біль­ша похила.

III. Закріплення та осмислення знань учнів

1. Задача № 22 із підручника (с. 36).

2. Задача № 23 із підручника (с. 36).

Нехай АВПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій? (рис. 165); AC = 17 cm, AD = 10 cm, СB – BD = 9 cm. Нехай BD = x cm, тоді CB = (x + 9) cm.

Із? АВD: АВ2 = AD2 – BD2 = 100 – x2.

Із? АСВ: АВ2 = AC2 – BC2 = 289 – (x+ 9)2. Тоді 100 – x2 = 289 – (x + 9)2; 100 – x2 = 289 – x2 – 18x – 81; 18x = 108; x = 6.

Отже, BD = 6 cm, CB = 6 + 9 = 15 (см).

Відповідь. 6 см і 15 см.

3. Задача № 25 із підручника (с. 36).

Розв’язання

Нехай АВПерпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій? (рис. 165); AD = 23 см, AC = 33 см, BD : CB = 2 : 3.

Нехай BD = 2x см, CB = 3х см. Із? АВD: АВ2 = AD2 – BD2 = 232 – 4×2.

Із? АВС: АВ2 = AC2 – BC2 = 332 – 9×2. Тоді 232 – 4×2 = 332 – 9×2;

5×2 =332 – 232; 5×2 = (33 – 23)(33 + 23); x2 =112 і АВ = Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій = Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій = Перпендикуляр і похила. Взаємозвязок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій = 9 (см). Отже, довжина перпендикуляра дорів­нює 9 см.

Відповідь. 9 см.

§3, п. 18; контрольні запитання № 7-9; задача № 24 (с. 36).

V. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Що таке перпендикуляр, опущений з даної точки до площини?

2) Що таке похила, проведена з даної точки до площини?

3) Скільки перпендикулярів та похилих можна побудувати з даної точки до площини?

4) 3 даної точки до площини проведено дві похилі. Що можна стверджу­вати про проекції похилих на площину, якщо похилі:

А) рівні;

Б) не рівні?

1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars (1 votes, average: 5.00 out of 5)


Перпендикуляр і похила. Взаємозв’язок між довжинами похилих, проведених з однієї точки, і довжинами їх проекцій - Плани-конспекти уроків по математиці