Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди

УРОК № 55

Тема. Піраміда. Площа поверхні та об’єм піраміди

Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про піраміди, площу поверхні та об’єм піраміди.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Початкові відомості стереометрії” [13]; моделі пірамід.

Вимоги до рівня підготовки учнів: пояснюють, що таке піраміда та її елементи; зображають і знаходять на рисунку піраміду; записують і пояснюють-формули площі поверхні та об’єму піраміди; застосовують вивчений матеріал до розв’язування

задач, у тому числі прикладного змісту.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність виконання домашнього завдання за записами, зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання

1) Нехай ABCDFKA1B1C1D1F1K1 – правильна призма (рис. 249), АВ = 6 см, АА1 = 5 см.

Sбічн = 6 – AB – AA1 = 6 – 6 – 5 = 180 (см2).

Sосн = 6 – S? AOB = 6 – = 6 – = 54 (см2).

V = Sосн – AA1 = 54 – 5 = 270 (см3).

Відповідь. 180 см2 і 270См3.

2) Нехай

у прямій призмі АВСА1В1С1 (рис. 250) B = 90°, АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА1 = 10 см.

Sосн = АВ – ВС = – 3 – 4 = 6 (см2). V = S – AА1 = 6 – 10 = 60 (см3).

Із трикутника ABC маємо: АС = = = 5 (см).

Sбічн = (AB + BC + AC) – AA1 = (3 + 4 + 5) – 10 = 120(см2).

Sпр = Sбічн + 2Sосн = 120 + 2 – 6 = 132 (cм2).

Відповідь. 60 см3, 132 см2.

3) Нехай у правильній призмі АВСА1В1С1 (рис. 251) Sосн = 4См2, АА1 = 10 см.

Оскільки Sосн = , то 4 = , АВ2 = 16, звідси АВ = 4 см.

Sбічн = 3 – AB – АА1= 3 – 4 – 10 = 120 (см2).

Відповідь. 120 см2.

Фронтальна бесіда

1) Дайте означення n-кутної призми. 2) Які властивості призми вам відомі? 3) Яка призма називається прямою? правильною? 4) Як обчислюється площа повної поверхні призми? 5) Чому дорівнює площа бічної поверхні прямої призми? 6) Чому дорівнює об’єм призми?

Завдання класу

Визначте, які з наведених тверджень є правильними, а які – неправильними:

1) На рис. 251 зображено пряму трикутну призму, в основі якої лежить прямокутний трикутник ABC (B = 90°), АВ = 3 см, ВС = 4 см, АА1 = 10 см.

А) Площа основи призми дорівнює 6 см2.

Б) Об’єм призми дорівнює 120 см3.

В) АС = 7 см.

Г) Площа найменшої бічної грані дорівнює 50 см2.

2) На рис. 251 зображено пряму трикутну призму, в основі якої лежить правильний трикутник ABC, АВ = 10 см, АА1 = 5.

А) Бічні грані мають однакову площу.

Б) Площа бічної поверхні дорівнює 50 см2.

В) Площа основи призми дорівнює 5 см2.

Г) Об’єм призми дорівнює 125См3.

3) В основі прямої призми (рис. 252) лежить квадрат. Діагональ бічної грані дорівнює d і утворює з бічним ребром кут?.

А) Висота призми дорівнює d sin ос.

Б) Сторона основи призми дорівнює dsin?.

В) Площа бічної поверхні призми дорівнює 4d2 sin? cos?.

Г) Об’єм призми дорівнює d3 sin? cos2?.

ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи

ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Піраміда та її елементи

N-кутпною пірамідою називається многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші п граней – трикутники, що мають спільну вершину.

(Демонструються моделі пірамід.)

Спільну вершину трикутних граней називають вершиною піраміди, протилежну їй грань – основою, а всі інші грані – бічними гранями піраміди. Відрізки, що сполучають вершину піраміди з вершинами основи, називають бічними ребрами.

Перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину її основи, називають висотою піраміди.

На рис. 253 зображено чотирикутну піраміду SABCD; точка S – її вершина, ABCD – основа; SA, SB, SC, SD – бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD – ребра основи; SO – висота піраміди.

Трикутну піраміду називають також тетраедром. Суму площ усіх бічних граней піраміди називають площею бічної поверхні піраміди. Щоб знайти площу всієї поверхні піраміди, треба до площі Sбічн її бічної поверхні додати площу Sосн основи: Smp = Sбічн + Sосн.

Піраміда називається правильною, якщо її основою є правильний многокутник, а основа висоти збігається з центром цього многокутника (рис. 254). (Демонструються моделі правильних пірамід.)

Усі бічні ребра правильної піраміди рівні, усі бічні грані – рівні рівнобедрені трикутники. Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою. На рис. 254 SFDC, SF – апофема.

Завдання класу

1. Скільки граней, ребер, вершин має n-кутна піраміда? 2. Кожне ребро тетраедра дорівнює 2 см. Знайдіть площу поверхні тетраедра. 3. Побудуйте трикутну і чотирикутну піраміди.

Площа поверхні та об’єм піраміди

Теорема. Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює добутку півпериметра її основи на апофему.

Доведення

Нехай а – сторона основи правильної n-кутної піраміди (рис. 255). SHBC, SH = m.

Тоді площа бічної грані правильної піраміди дорівнює Am, а площа бічної поверхні Sбічн = Аmn. Оскільки Аn = р, де р – півпериметр основи піраміди, то Sбічн = pm.

Об’єм будь-якої піраміди дорівнює третині добутку площі її основи на висоту: V = Sосн – H.

Завдання класу

1. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12 см, а апофема 10 см. 2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює 16 см, а бічне ребро 10 см. 3. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 6 см, а висота 10 см.

Учні складають конспект (зразок наведено у табл. 11).

Таблиця 11

Піраміда
N-кутна піраміда – многогранник, одна грань якого – довільний n-кутник, а всі інші п граней – трикутники, що мають спільну вершину
S – вершина піраміди; ABCD – основа піраміди; ASAB, ASBC, ASCD, ASDA – бічні грані; SA, SB, SC, SD – бічні ребра; АВ, ВС, CD, AD – ребра основи; SO – висота, SOABCD
Основа правильної піраміди – правильний многокутник, а основа висоти – центр многокутника, SF – апофема, SFDC. Площа бічної поверхні правильної піраміди Sбічн = mр, де m – апофема, р – півпериметр основи. Об’єм піраміди V = Sосн – H

IV. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Розв’язування задач

1. В основі піраміди SABC, зображеної на рис. 256, лежить прямокутний трикутник ABC (C = 90°), AC = 3 см, ВС = 4 см. Обчисліть об’єм піраміди, якщо висота SA дорівнює 5 см. (Відповідь. 10 см3)

2. В основі ABCD правильної піраміди SABCD лежить квадрат зі стороною 10 см. Висота SO піраміди дорівнює 12 см. Знайдіть площу поверхні та об’єм піраміди. (Відповідь. 360 см2, 400 см3) 3. Основа піраміди – прямокутник зі сторонами 3 см і 5 см. Висота піраміди 10 см. Знайдіть об’єм піраміди. (Відповідь. 50 см3) 4. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює а. (Відповідь. а3) 5. Бічні ребра трикутної піраміди попарно перпендикулярні й мають довжини 3 см, 4 см і 5 см. Знайдіть її об’єм. (Відповідь. 10 см3) 6. У правильній чотирикутній піраміді бічне ребро дорівнює 10 см. Знайдіть:

А) висоту піраміди, якщо діагональ основи дорівнює 16 см;

Б) апофему піраміди, якщо сторона основи дорівнює 12 см.

7. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, бічне ребро якої дорівнює 12 см і утворює з висотою піраміди кут 30°. 8. Одна з найвеличніших споруд давнини – піраміда Хеопса – має форму правильної чотирикутної піраміди, висота якої дорівнює 150 м, а бічне ребро – 220 м. Знайдіть площу основи піраміди. (Відповідь. 51800м2) 9. На рис. 257 зображено розгортку чотирикутної піраміди, в основі якої лежить квадрат зі стороною 6 см, бічні грані піраміди – правильні трикутники. Знайдіть висоту піраміди і її об’єм. (Відповідь. 3См і 36См3.)

10. В основі піраміди лежить прямокутник з діагоналлю d і кутом а між діагоналями. Висота піраміди дорівнює Н, основа висоти піраміди – точка перетину діагоналей прямокутника. Знайдіть об’єм піраміди. (Відповідь. Hd2sin?.)

V. Самостійна робота

Варіант 1

1. У правильній чотирикутній піраміді висота дорівнює 6 см, а діагональ основи – 16 см. Знайдіть бічне ребро піраміди. 2. Знайдіть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює 2 см. 3. Бічне ребро правильної чотирикутної піраміди дорівнює 4 см і утворює з висотою піраміди кут 30°. Знайдіть об’єм піраміди.

Варіант 2

1. У правильній трикутній піраміді сторона основи дорівнює 8 см, а апофема – 3 см. Знайдіть бічне ребро піраміди. 2. Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 2 см, а висота піраміди – 6 см. 3. Довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди дорівнює 6 см, бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 60°. Знайдіть об’єм піраміди.

Відповіді до завдань самостійної роботи

Варіант 1. 1. 10 см. 2. 3См2. 3. См3.

Варіант 2. 1. 5 см. 2. 8см3. 3. 12 см3.

VI. Домашнє завдання

1. Вивчити формули площі поверхні та об’єму правильної піраміди. 2. Розв’язати задачі. 1) Знайдіть площу поверхні правильної чотирикутної піраміди, кожне ребро якої дорівнює а. 2) В основі піраміди лежить ромб з діагоналями 6 см і 8 см. Висота піраміди дорівнює 10 см. Знайдіть об’єм піраміди. 3) Знайдіть об’єм правильної чотирикутної піраміди, діагональ основи якої дорівнює 4 см, а бічне ребро утворює з висотою піраміди кут 45°.

VII. Підбиття підсумків уроку

Запитання до класу

1. Що називається n-кутною пірамідою? 2. Яка піраміда називається правильною? 3. Які властивості правильної піраміди вам відомі? 4. Чому дорівнює площа поверхні піраміди? 5. Чому дорівнює площа бічної поверхні правильної піраміди? 6. Чому дорівнює об’єм піраміди?