Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда

Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ

§ 25. Прямокутний паралелепіпед. Куб. Піраміда

Сірникова коробочка, цеглина, дерев’яний брусок, ящик, пенал дають уявлення про геометричну фігуру, яка називається прямокутним паралелепіпедом (рис. 188).

Рис. 188

Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників, які називаються його гранями. Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда попарно рівні.

На рисунку 188 протилежними гранями є ABCD і MLKN, AMLB і DNKC, AMND

і BLKC. Грані ABCD

І MLKN називають ще основами паралелепіпеда.

Сторони граней називають ребрами паралелепіпеда, а вершини граней – вершинами паралелепіпеда. Прямокутний паралелепіпед має 8 вершин. Усіх ребер є 12, по 4 рівних між собою. На рисунку 188: АВ = ML = NK = DC, AM = BL = CK = DN і AD = ВС = LK = MN. Ребра AM, BL, CK і DN називають ще висотами паралелепіпеда.

З кожної вершини прямокутного паралелепіпеда виходять три ребра. Довжини цих ребер – це довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда (рис. 188), або його виміри.

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда – це сума площ усіх його граней.

Задача 1. Знайди площу

поверхні S прямокутного паралелепіпеда, якщо його виміри дорівнюють a, b і с.

Розв’язання. Нехай AB = a, MN = b, AM = c (рис. 188). У двох граней довжини сторін дорівнюють а і b. Площа кожної з них дорівнює ab. Площа кожної з двох наступних граней – bc, а двох, що залишилися, дорівнює ас. Тому площу поверхні S можна знайти так: S = 2ab + 2Ьс + 2ас, або

S = 2(ab + be + ас) .

Прямокутний паралелепіпед, усі ребра якого рівні, називається кубом (рис. 189). Усі грані куба – рівні квадрати. Очевидно, що площа поверхні куба з ребром а дорівнює:

S = 6a2.

Ще однією важливою і цікавою фігурою є піраміда (рис. 190-192). Поверхня піраміди складається з основи і бічних граней. Бічні грані піраміди – трикутники, що мають спільну вершину, яку називають вершиною піраміди, а основа піраміди – довільний многокутник, протилежний до цієї вершини.

Початковий рівень

836. Знайди площу однієї грані та площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 7 см.

Середній рівень

837. Знайди загальну довжину всіх ребер куба, якщо довжина одного ребра:

1) 2 см; 2) 5 дм; 3) 13 мм.

838. Площа однієї грані куба 25 см2. Обчисли площу його поверхні.

839. На рисунку 194 зображено одну з граней куба. Виміряй ребро куба і знайди:

1) суму довжин усіх ребер куба;

2) площу поверхні куба.

840. На рисунку 195 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDEFGH. Назви:

1) усі грані цього паралелепіпеда;

2) усі ребра цього паралелепіпеда;

3) усі вершини цього паралелепіпеда;

4) ребра, що є сторонами грані AEFB;

5) ребра, що дорівнюють ребру НЕ;

6) грань, що дорівнює грані EFGH;

7) грані, яким належить вершина Н;

8) грані, для яких АВ є спільним ребром.

Рис. 194

Рис. 195

841. Скільки всього у шестикутної піраміди (рис. 190):

1) граней; 2) ребер?

842. Скільки всього у чотирикутної піраміди (рис. 191):

1) граней; 2) ребер?

843. Знайди площі граней ABCD, FBAE, CGFB паралелепіпеда, зображеного на рисунку 195.

844. Обчисли суму довжин усіх ребер та площу поверхні паралелепіпеда, зображеного на рисунку 195.

845. Обчисли площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 5 см, 3 см і 2 см; 2) 3 дм, 4 дм і 7 дм.

846. Обчисли суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 8 см, ширина 5 см, висота 3 см.

Достатній рівень

847. Прямокутний паралелепіпед, склеєний з паперу, розрізали вздовж його ребер. Грані його зображено на рисунку 196.

1) Обчисли площу кожної грані.

2) Скільки квадратних сантиметрів паперу треба для виготовлення цього прямокутного паралелепіпеда (без урахування запасів для склеювання)?

848. Обчисли площу поверхні сірникової коробки або пенала, який має форму прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 190

849. Знайди площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють:

1) 1 м, 2 дм, 40 см; 2) 80 мм, 5 см, 1 дм.

850. Виміри прямокутного паралелепіпеда 2 см, 4 см і 7 см. Знайди площу:

1) найменшої грані; 2) найбільшої грані.

851. Сума довжин усіх ребер куба 60 дм. Яка довжина одного ребра?

852. Чи можуть деякі 4 грані прямокутного паралелепіпеда мати площі 2 м2, 3 м2, 6 м2 і 7 м2?

853. Площі трьох граней прямокутного паралелепіпеда 120 см2, 70 см2 і 84 см2. Обчисли площу його поверхні.

854. Піраміда має 2017 граней. Скільки сторін має многокутник, який є основою піраміди?

855. Основою піраміди є двадцятисемикутник. Скільки граней має ця піраміда?

856. Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 36 дм. Знайди суму довжин трьох його ребер, що виходять з однієї вершини.

857. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 15 см, що на 5 см більше за ширину і в 2 рази менше від довжини. Знайди суму довжин усіх ребер паралелепіпеда та площу його поверхні.

858. Знайди формулу для обчислення суми довжин ребер L прямокутного паралелепіпеда з вимірами a, b і с.

859. Із жерсті виготовлено бак без кришки. Він має форму прямокутного паралелепіпеда, довжина якого 80 см, ширина 50 см, а висота 40 см. Бак треба пофарбувати ззовні та всередині. Яку площу треба пофарбувати?

860. Акваріум має форму прямокутного паралелепіпеда. Його бічні стінки скляні. Визнач площу поверхні скла, якщо довжина акваріума 50 см, ширина 20 см, а висота 40 см.

Високий рівень

861. Чи існує піраміда, у якої:

1) 2000 ребер; 2) 2005 ребер?

Якщо відповідь позитивна, вкажи многокутник, який є основою піраміди.

862. Чи існує піраміда, у якої:

1) 107 ребер; 2) 250 ребер?

Якщо відповідь позитивна, вкажи многокутник, який є основою піраміди.

863. Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Довжина паралелепіпеда 12 см, що в 3 рази більше за висоту і на 3 см більше за ширину. Знайди ребро куба.

864. Ребро одного куба вдвічі більше за ребро іншого. У скільки разів площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого?

865. Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда, треба пофарбувати. Виміри бруска 80 см, 70 см і 50 см. Скільки потрібно фарби, якщо на 1 дм2 поверхні витрачають 3 г фарби?

866. Сума всіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 288 см, причому висота вдвічі менша від ширини і втричі менша від довжини. Знайди площу поверхні цього паралелепіпеда.

Вправи для повторення

867. Микита Кожум’яка вичинив 106 шкур. Перші чотири години він вичиняв по 16 шкур за годину, а потім почав вичиняти по 14 шкур за годину. Скільки часу Кожум’яка потратив на вичинку всіх шкур?

868. Склади та розв’яжи задачі за схемами (стрілка спрямована в бік більшого числа):

869. Відстань між Черніговом і Луганськом становить 870 км. О 12 годині із Чернігова в Луганськ виїхав автобус зі швидкістю 85 км/год. О 14 годині з Луганська у Чернігів виїхав автомобіль зі швидкістю 90 км/год. О котрій годині вони зустрінуться?

870. У двох бідонах разом 48 л молока, причому в одному з них удвічі менше, ніж в іншому. Скільки літрів молока в кожному бідоні?

871. Периметр трикутника дорівнює 40 см, одна сторона – а см, а інша – 15 см. Склади вираз для обчислення третьої сторони трикутника. Обчисли її довжину, якщо а = 8. Чи може a дорівнювати 5? дорівнювати 21?