Рівнобедрений трикутник і його властивості
§ 2. Трикутники
8. Рівнобедрений трикутник і його властивості
Практичні завдання
196.
197.
198.
Вправи
199. 1) Р = 13 + 2 х 8 = 29(см).
Відповідь: 29 см.
2) Нехай х см – бічна сторона, тоді 15 + 2х = 39, тоді 2х = 39 – 15; 2х = 24; х = 24 : 2; х = 12.
Відповідь: 12 см.
200. Нехай х см – основа, тоді 10 х 2 + х = 28, тоді х = 28 – 20; х – 8.
Відповідь: 8 см.
201. Нехай х см – бічна сторона, х + 5 см – основа, тоді 2х + х + 5 – 32, звідси 3х + 5 = 32; 3х = 32 – 5; 3х = 27; х
Відповідь: 14 см, 9 см, 9 см.
202. Нехай х см – основа, 4х см – бічна сторона, тоді х + 4х х 2 = 54, звідси 9х = 54; х = 54 : 9; х = 6; 4х = 4 х 6 = 24. Отже, основа дорівнює 6 см, а бічна сторона 24 см.
Відповідь: 24 см, 24 см, 6 см.
203. Медіана BD є також висотою і бісектрисою, тому ∠ABD = 1/2∠ZABC = 1/2 – 100° = 50°. Оскільки ∠BCA = 40°, то ∠BAD = 40°, ∠BDA = 90°.
204. Оскільки BD – медіана трикутника ABC (AB = ВС), то BD – бісектриса трикутника ABC і його висота, тому ∠ABC = 2∠ABD = 2 x 53° = 106°, ∠ADE = 90°.
Відповідь: 106°, 90°.
205. Оскільки КО – висота трикутника
Відповідь: 12 см, 24°.
206. Оскільки? ABC – рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA. Оскільки ∠1 = 140°, то ∠BAC = 180° – ∠1 = 180° – 140° = 40° (властивість суміжних кутів), ∠2 = ∠BCA = ∠BAC = 40°.
Відповідь: 40°.
207. ∠1 = 68°, тоді ∠ABC = 68°,
Відповідь: 34°.
208. Рис. 179. ∠1 = 76°, тоді ∠ABC = 180° – ∠1 = 180° – 76° = 104°.
Відповідь: 52°.
209. Оскільки? ABC і? CDE – рівнобедрені, то ∠A = ∠ACB, ∠E = ∠DCE. Крім того, ∠ACB = ∠DCE – як вертикальні. Тоді ∠A = ∠ACB = ∠DCE = ∠E. Отже, ∠A = ∠E.
210. За умовою AB = АС, тоді ∠ACB = ∠ABC (властивість рівнобедреного трикутника). Крім того, ∠ACB = ∠2, ∠ABC = ∠1 за властивістю вертикальних кутів. Toді ∠1 – ∠CBA = ∠ACB = ∠2. Отже,∠1 = ∠2.
211. ?АОВ = ?СОВ (за двома сторонами і кутом між ними: АО = СО – за умовою, ∠AOB = ∠СОВ – за у мовою, ВО – спільна сторона), тоді AВ = АС. Отже, ?ABC – рівнобедрений.
212.
Відповідь: 135°.
213. 1) Так, обидва учні можуть бути правими, якщо даний трикутник рівносторонній.
2) Якщо трикутник – рівнобедрений, але не рівносторонній, то правий тільки перший учень.
214. Якщо AB = A1B1, то ВС = B1C1, бо трикутники АВС і А1В1С1 – рівнобедрені. Оскільки AB = А1B1, ВС = B1C1, ∠B = ∠B1, то? ABC = ?А1В1С1 за двома сторонами і кутом між ними.
215. Якщо ∠A = ∠A1, то ∠C = ∠C1, бо трикутники АВС і А1В1С1 – рівнобедрені. Оскільки АС = A1C1, ∠A = ∠A1, ∠C = ∠C1, то? ABC = ?А1В1С1 за стороною і двома прилеглими кутами.
216. На рис. AB = ВС, AM = CK, ∠A = ∠C, тому? ABM = ?СВК за двома сторонами і кутом між ними. Тоді ВМ = ВК, отже, ?МВК – рівнобедрений.
217. На рис. ME = МК, ∠E = ∠K, ∠KMF = ∠EMN, тому? KMF = ?EMN за стороною і двома прилеглими кутами. Із рівності трикутників випливає, що MF = FN, тобто? MFN – рівнобедрений, тоді∠MFN = ∠MNF.
218. 1) Оскільки АС = ВС, MC = КС, ∠C – спільний, то? ACM = ?ВСК.
2) Оскільки AK = АС – СК = ВС – СМ = ВМ, AB – спільна сторона, ∠KAB = ∠MBA, то? ABM = ?ВАК.
219. 1) АВ = СВ, ВМ – спільна сторона, ∠ABM = ∠CBM, тоді? AMВ = ?CMВ за двома сторонами і кутом між ними.
2) Оскільки AD = DC, MD – спільна сторона, ∠ADM = ∠CDM = 90°, то? AMD = ?CMD.
220. На рисунку АВ = ВС, ∠B – спільний для трикутників ABL і СВК, тоді? ABL = ?СВК за стороною і двома прилеглими кутами. Із рівності трикутників випливає, щоAL = СК.
221. На рисунку AB = ВС, АС – спільна сторона трикутників АЕС і CDA, ∠EAC = ∠DCA, тоді? АЕС = ?CDA за двома сторонами і кутом між ними. Із рівності трикутників випливає, що AD = СЕ.
222. Оскільки ∠B = ∠C, BE = EC, то? DBE = ?FCE. Із рівності трикутників маємо DE = EF, тобто? DEF – рівнобедрений.
223. Задача має два розв’язки. Якщо основа дорівнює 7 см, то бічні сторони дорівнюють 4 см; а якщо основа дорівнює 4 см, то бічні сторони дорівнюють 7 см.
Відповідь: 7 см, 4 см, 4 см або 4 см, 7 см, 7 см.
224. Якщо основа рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см, тоді бічна сторона цього трикутника дорівнює Якщо бічна сторона рівнобедреного трикутника дорівнює 4 см то основа дорівнює 14 – 4 – 4 = 6 (см).
Відповідь: 5 см, 5 см і 4 см, 6 см.
225. 1) Твердження не є правильним, бо тільки бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, є його висотою і медіаною.
2) Твердження правильне.
3) Твердження не є правильним для трикутника зі сторонами 3 см, 5 см і 1 см. Периметр трикутника – 9 см втричі більший за сторону (3 см), проте трикутник різносторонній.
226. У трикутниках AMD, ВКМ, CDK маємо: ∠A = ∠B = ∠C, AD = ВМ = СК за умовою, AM = BK = CD – як різниці рівних відрізків AB – AM, ВС – ВК, АС – CD, тому? AMD = ?ВКМ = ?CDK. З рівності трикутників випливає: MD = KM = DK, тобто ADMК – рівносторонній.
227. У трикутниках DBK, КСЕ, EAD маємо: KB = СЕ = AD за умовою; DB = КС = АЕ – як сума рівних відрізків AD + AB, KB + ВС, АС + СЕ; ∠DBK = ∠KCB = ∠EAD – як суміжні кути до рівних кутівABC, ВСА, САВ, тому? DBK = ?КСЕ = ?EAD. Із рівності цих трикутників випливає, що DK = КЕ = DE, тобто? DEK – рівносторонній.
228. Нехай у рівнобедреному трикутнику AB = ВС, AD – медіана (BD = DC), АС = 20 см. Можливо два випадки:
1) P? ABD = 6 + P? ADC; 2) P? ADC = 6 + P? ABD.
1) P? ABD – P? ADC = 6, AB + AD + BD – AD – DC – AC = AB – AC, тоді AB – 20 = 6, AB = 26 (CM).
2) P? ADC – P? ABD = 6, AC + AD + DC – AD – BD – AB = AC – AB, AC – AB = 6, тоді AB = АС – 6 = 20 – 6 = 14 (CM).
Відповідь: 26 см або 14 CM.
Вправи для повторення
229. ∠3 = ∠1 = 35° (бо вертикальні кути рівні), ∠2 = 90° – ∠3 = 90° – 35° = 55° (бо ∠2 і ∠3 складають прямий кут), ∠4 = 180° – ∠3 = 180° – 35° = 145° (бо ∠3 і ∠4 – суміжні).
Відповідь: ∠2 = 55°, ∠3 – 35°, ∠4 = 145°.
230. Нехай AB = a, DB = х, тоді CD = 2х, АС = 2 х CD = 2 х 2х = 4х.
Тоді х + 2х + 4х = а; 7х = а; х = a/7.
1) М – середина СD, тоді 4M = АС + СМ =
Відповідь: 5a/7.
2) N і К – середини відрізків АС і DB відповідно, тоді MK = NC + CD + DK =
Відповідь: 9a/14.
Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте
231.