Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
УРОК 29
Тема. Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
Мета уроку: формування умінь учнів розв’язувати найпростіші тригонометричні нерівності: tg t > a, tgt < a, ctg t < a, ctg t > a (tgt 
a, tgt 
a, ctg t a, ctg t a).
І. Перевірка домашнього завдання
1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів у процесі виконання домашніх завдань.
2. Фронтальна бесіда з учнями з використанням рис. 130.
1) Яка дуга відповідає
2) Розв’язком якої нерівності є дуга АmВ; AkD; CpD; СnВ?
3) Розв’яжіть нерівності: cos t 1; sin t > 5; sin t < 5; sin t < -1; cos t >?; cos t 0; cos t 0; sin t 0; sin t 0.
II. Сприймання і усвідомлення розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей
На сьогоднішньому уроці ми продовжимо вчитися розв’язувати найпростіші тригонометричні нерівності.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність tg t
Побудуємо одиничне коло та лінію тангенсів (рис. 131). На осі тангенсів позначимо число 1. Якщо t є розв’язком нерівності, то ордината точки Т, рівна tg t, повинна бути не більша 1. Множина таких точок Т – промінь AT. Множина точок 
, що відповідають точкам променя АТ, – дуга 
, яка на рисунку виділена. (Зверніть увагу: точка належить, а точка не належить множині розв’язків). Отже, розв’язком нерівності будуть усі значення t із проміжку 
. Враховуючи, що період функції tg t дорівнює?, маємо розв’язок даної нерівності 
, n
Z.
Відповідь: 
, де nZ.
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність tg t > 
.
На осі тангенсів (рис. 132) позначимо число і множину значень тангенсів, не менших за (промінь AT). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, тангенс яких не менший від , є дуга 
. Отже, розв’язком нерівності будуть усі значення t із проміжку 
. Враховуючи періодичність, маємо: 
, де nZ.
Відповідь: 
, де nZ.
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність ctgt –.
1 спосіб. Враховуючи, що ctg t = tg 
, маємо ctg t = – tg 
, тоді маємо нерівність – tg – a6o tg 
. Розв’яжемо останню нерівність (рис. 133), маємо: 
, nZ; 
, nZ.
Відповідь: 
, де nZ.
2 спосіб. На осі котангенсів позначимо число і множину (рис. 134) значень котангенсів, не менших за – (промінь AQ). На одиничному колі множина точок, що відповідають кутам, котангенс яких не менший від –, є дуга 
Отже, розв’язки нерівності будуть усі значення t із проміжку 
. Враховуючи періодичність, маємо: , nZ.
Відповідь: , де nZ.
III. Формування умінь розв’язувати найпростіші нерівності
1. Розв’яжіть нерівності: a) tg x – 1; б) tg x < ; в) tg х 2; г) ctg х > .
Відповідь: а) , nZ; б) 
, nZ; в) 
, nZ; г) 
, nZ.
IV. Підведення підсумків уроку
V. Домашнє завдання
Розділ II § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу II № 24. Вправа № 3 (2, 4, 6, 8).
