Сполучна і розподільна властивості множення
Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ
§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ
17. Сполучна і розподільна властивості множення
Нарисуємо на аркуші в клітинку прямокутник із сторонами 5 см і 3 см. Розіб’ємо його на квадрати зі стороною 1 см (рис. 142). Підрахуємо кількість клітинок зошита, що містяться в прямокутнику. Це можна зробити, наприклад, так.
Кількість квадратів із стороною 1 см дорівнює 5∙3. Кожний такий квадрат містить 4 клітинки. Тому загальна кількість клітинок дорівнює (5
3)∙ 4.
Цю задачу можна
Рис. 142
Рис. 143
Підрахунок клітинок на рисунку 143 двома способами ілюструє сполучну властивість множення для чисел 5, 3 і 4. Маємо:
(5 ∙ 3) ∙ 4 = 5 ∙ (3 ∙ 4).
Щоб добуток двох чисел помножити на третє число, можна перше число помножити на добуток другого і третього чисел.
У буквеному вигляді цю властивість записують так:
(ab)c = а (bc)
З переставної
Наприклад, правильними є рівності:
Abc = cba,
17 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = (17 ∙ 3) ∙ (2 ∙ 5).
На рисунку 143 відрізок АВ ділить прямокутник, який ми розглядали вище, на прямокутник і квадрат.
Підрахуємо кількість квадратів із стороною 1 см двома способами.
З одного боку, в утвореному квадраті їх міститься 3 ∙ 3, а в прямокутнику – 3 ∙ 2. Усього маємо 3 ∙ 3 + 3 ∙ 2 квадратів. З іншого боку, у кожному з трьох рядків, на які розділено даний прямокутник, міститься 3 + 2 квадрати. Тоді їх загальна кількість дорівнює 3 ∙ (3 + 2).
Рівність 3 ∙ (3 + 2) = 3 ∙ 3 + 3 ∙ 2 ілюструє розподільну властивість множення відносно додавання.
Щоб число помножити на суму двох чисел, можна це число помножити на кожний доданок і отримані добутки додати.
У буквеному вигляді цю властивість записують так:
A(b + с) = ab + ас
З розподільної властивості множення відносно додавання випливає, що
Ab + ас = а (b + с).
Ця рівність дозволяє формулу Р = 2а + 2b для знаходження периметра прямокутника записати в такому вигляді:
Р = 2 (а + b).
Зазначимо, що розподільна властивість виконується для трьох і більше доданків. Наприклад:
А (m + n + р + q) = am + an + ар + aq.
Також є справедливою розподільна властивість множення відносно віднімання: якщо b > с або b = с, то
A (b – с) = ab – ас
ПРИКЛАД 1 Обчисліть зручним способом:
1) 25 ∙ 867 ∙ 4; 2) 329 ∙ 754 + 329 ∙ 246.
Розв’язання. 1) Застосуємо переставну, а потім сполучну властивості множення:
25 ∙ 867 ∙ 4 = 867 ∙ (25 ∙ 4) = 867 ∙ 100 = 86 700.
2) Маємо: 329 ∙ 754 + 329 ∙ 246 = 329 ∙ (754 + 246) = 329 ∙ 1000 = 329 000.
ПРИКЛАД 2 Спростіть вираз: 1) 4а ∙ Зb; 2) 18m – 13m.
Розв’язання. 1) Використовуючи переставну і сполучну властивості множення, отримуємо:
4а ∙ 3b = (4 ∙ 3) ∙ ab = 12аb.
2) Використовуючи розподільну властивість множення відносно віднімання, отримуємо:
18m – 13m = m (18 – 13) = m ∙ 5 = 5m.
ПРИКЛАД 3 Запишіть вираз 5 (2m + 7) так, щоб він не містив дужок.
Розв’язання. За розподільною властивістю множення відносно додавання маємо:
5 (2m + 7) = 5 ∙ 2m + 5 ∙ 7 = 10m + 35.
Таке перетворення називають розкриттям дужок.
ПРИКЛАД 4 Обчисліть зручним способом значення виразу
125 ∙ 24 ∙ 283.
Розв’язаним. Маємо:
125 ∙ 24 ∙ 283 = 125 ∙ 8 ∙ 3 ∙ 283 = (125 ∙ 8) ∙ (3 ∙ 283) = 1000 ∙ 849 = 849 000.
ПРИКЛАД 5 Виконайте множення: 3 доби 18 год ∙ 6. Розв’язання. Маємо:
З доби 18 год ∙ 6 = 18 діб 108 год = 22 доби 12 год.
При розв’язанні прикладу було використано розподільну властивість множення відносно додавання:
З доби 18 год ∙ 6 = (3 доби + 18 год) ∙ 6 = 3 доби ∙ 6 + 18 год ∙ 6 = 18 діб + 108 год = 18 діб + 96 год + 12 год = 18 діб + 4 доби + 12 год = 22 доби 12 год.
Розв’язуємо усно
1. Заповніть ланцюжок обчислень:
2. Добуток чисел 3 і 8 помножте на 100.
3. Число 3 помножте на добуток чисел 8 і 100.
4. Знайдіть добуток суми чисел 8 і 7 та числа 6.
5. Знайдіть суму добутків чисел 8 і 6 та чисел 7 і 6.
6. Чи можна подати число 6 у вигляді добутку 100 множників?
7. В інкубаторі було 1000 яєць. Із кожних 100 яєць вилупилося 95 курчат. Скільки всього вилупилося курчат?
Вправи
425.° Обчисліть зручним способом:
1) 2 ∙ 328 ∙ 5; 3) 25 ∙ 243 ∙ 1; 5) 50 ∙ 236 ∙ 2;
2) 125 ∙ 43 ∙ 8; 4) 4 ∙ 36 ∙ 5; 6) 250 ∙ 3 ∙ 4.
Обчисліть зручним способом:
1) 4 ∙ 17 ∙ 25; 3) 8 ∙ 475 ∙ 125; 5) 2 ∙ 916 ∙ 50;
2) 5 ∙ 673 ∙ 2; 4) 73 ∙ 5 ∙ 4; 6) 5 ∙ 9 ∙ 200.
427.° Спростіть вираз:
1) 13 ∙ 2а; 4) 28 ∙ у ∙ 5; 7) 27m ∙ 3n;
2) 9x ∙ 8; 5) 6а ∙ 8b; 8) 4а ∙ 8 ∙ b ∙ 3 ∙ с;
3) 23 ∙ 4b; 6) 11x ∙ 14у; 9) 12x ∙ 3y ∙ 5z.
428. Спростіть вираз:
1) 12 ∙ 3x; 3) 5а ∙ 7b; 5) 2а ∙ 3b ∙ 4с;
2) 10x ∙ 6; 4) 8m ∙ 12n; 6) 5x ∙ 2у ∙ 10z.
429.° Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:
1) 318 ∙ 78 + 318 ∙ 22; 3) 943 ∙ 268 + 943 ∙ 232;
2) 856 ∙ 92 – 853 ∙ 92; 4)65∙246-65∙229-65∙17.
430.° У Обчисліть значення виразу найзручнішим способом:
1) 47 ∙ 632 + 632 ∙ 53; 3) 754 ∙ 324 – 754 ∙ 314;
2) 598 ∙ 49 – 597 ∙ 49; 4) 37 ∙ 46 – 18 ∙ 37 + 37 ∙ 72.
431.° Розкрийте дужки:
1) 2 (а + 5); 4) (с – 9) ∙ 11; 7) 7 (6а + 8b);
2) 8 (7 – x); 5) (8 + у) ∙ 16; 8) 10 (2m -3n + 4k);
3) 12 (х + у); 6) 15 (4а – 3); 9)(24x + 17y – 36z) ∙ 4
432.° Розкрийте дужки:
1) 4 (а + 2); 3) (р – q) ∙ 9; 5) 5 (2m – 1);
2) 3 (m – 5); 4) 12 (а + b); 6) (3с + 5d) ∙ 14.
433.°° Спростіть вираз:
1) 6а + 8а; 3) m + 29m; 5) 4x + 13x + 15x;
2) 28с – 15с; 4) 98р – р; 6) 67z – 18z + 37.
434.° Спростіть вираз:
1) 13b + 19b; 3) 34n + n; 5) 36y – 19y + 23y;
2) 44d – 37d; 4) 127q – q; 6) 49а + 21а + 30.
435.° Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 25x ∙ 4у, якщо x = 12, у = 11;
2) 8k ∙ 125с, якщо k = 58, с = 8.
436. ° Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 5а ∙ 20b, якщо а = 4, b = 68;
2) 4m ∙ 50n, якщо m = 22, n = 34.
437.°Обчисліть найзручнішим способом значення виразу:
1) 398 ∙ 36 + 36b, якщо b = 602;
2) 986b – 86 ∙ 83, якщо b = 83.
438.° Обчисліть найзручнішим способом значення виразу:
1) 631 ∙ 18 + x ∙ 369, якщо x = 18;
2) 58а – 58 ∙ 824, якщо а = 1024.
439.° Спростіть вираз і обчисліть його значення:
1) 13p + 37р, якщо р = 14;
2) 726 – 436, якщо b = 54;
3) 38x + 17x – 54x + x, якщо x = 678;
4) 86с – 35с – с + 296, якщо с = 47.
440.’ Спростіть вираз і обчисліть його значення:
1) 34x + 66x, якщо x = 8;
2) 54а – 39а, якщо а = 26;
3) 18m – 5m + 7m, якщо m = 394;
4) 19z – 12z + 33z – 192, якщо z = 82.
441.° Обчисліть зручним способом:
1) 16 ∙ 25; 2) 25 ∙ 8 ∙ 5; 3) 15 ∙ 12; 4) 375 ∙24.
442.° Обчисліть зручним способом:
1) 25 ∙ 4 ∙ 6; 2) 125 ∙ 25 ∙ 32; 3) 75 36; 4) 96 ∙ 50.
443.°° Обчисліть значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 43 ∙ 64 + 43 ∙ 23 – 87 ∙ 33;
2) 84 ∙ 53 – 84 ∙ 28 + 16 ∙ 61 – 16 ∙ 36.
444.°° Обчисліть значення виразу, використовуючи розподільну властивість множення:
1) 93 ∙ 24 – 27 ∙ 24 + 66 ∙ 76;
2) 82 ∙ 46 + 82 ∙ 54 + 135 ∙ 18 – 18 ∙ 35.
445.°° Виконайте множення:
1) 2 км 56 м ∙ 68; 4) 3 т 5 ц 65 кг ∙ 8;
2) 7 грн 9 к. ∙ 54; 5) 3 год 48 хв ∙ 25;
3) 4 км 90 м ∙ 43; 6) 5 год 12 хв 36 с ∙ 15.
446.°° Виконайте множення:
1) 8 ц 26 кг ∙ 27; 4) 5 м 8 см ∙ 42;
2) 14 грн 80 кг ∙ 406; 5) 7 хв 5 с ∙ 24;
3) 6 т 45 кг ∙ 82; 6) 4 доби 6 год ∙ 12.
447.°° Скількома нулями закінчується добуток усіх натуральних чисел:
1) від 1 до 10 включно;
2) від 15 до 24 включно;
3) від 10 до 30 включно;
4) від 1 до 100 включно?
Вправидля повторення
448. Кут ABC – прямий, промінь ВР – бісектриса кута АВК, промінь ВМ – бісектриса кута СВК (рис. 144). Яка градусна міра кута МВР?
449. По двору бігали кошенята та курчата. Вони разом мали 14 голів і 38 ніг. Скільки кошенят і скільки курчат бігало по двору?
450. У першому ящику на 14 кг апельсинів менше, ніж у другому, і на 18 кг більше, ніж у третьому. Скільки кілограмів апельсинів міститься в усіх трьох ящиках разом, якщо в другому ящику їх 44 кг?
Рис. 144
Задачавід Мудрої Сови
451. У 5 класі навчаються троє друзів: Михайлик, Дмитрик і Сашко. Один із них займається футболом, другий – плаванням, а третій – боксом. У футболіста немає ні брата, ні сестри, він наймолодший із друзін. Михайлик старший за боксера й товаришує із сестрою Дмитрика. Яким видом спорту займається кожний із друзів?
