Сума й різниця кубів двох виразів
682. 1) Якщо b = -2, то (1 – b2)(1 + b2 + b4) = 1 – (b2)3 = 1 – b6 = 1 – (-2)6 = 1 – 64 = -63.
2) Якщо х = -1, то 2х3 + 7 – (х + 1)(х2 – х + 1) = 2х3 + 7 – (х3 + 1) = 2х3 + 7 – х3 – 1 = х3 + 6 = (-1)3 + 6 = -1 + 6 = 5.
690. 1) 4563 – 1563= (456 – 156)(4562 + 456 – 156 + 1562) = 300 – (4562 + 456 – 156 + 1562) – ділиться націло на 300, бо 300 ділиться на 300.
2) 2543 + 2383 = (254 + 238)(2542 – 254 – 238 + 2382) = 492 – (2542 – 254 – 238 + 2382) – ділиться націло на 123, бо 492 ділиться на 123.
3)
691. 1) 3413 + 1093 = (341 + 109)(3412 – 341 – 109 + 1092) = 450 – (3412 – 341 – 109 + 1092) – ділиться націло на 90, бо 450 ділиться на 90.
2) 215 + 33 = (25)3 + 33 = (25 + 3) – (210 – 3 – 25 + 32) = 35 – (210 – 3 – 25 + 32) – ділиться націло на 35, бо 35 ділиться на 35.
694. 1) а2 – b2 = (а – b)(а + b). Якщо сума двох натуральних чисел а + b ділиться наділо на деяке натуральне число, то на це число ділиться і різниця їхніх квадратів, тобто а2 – b2 = (а –
2) а2 + b2. Не можна стверджувати, що сума квадратів ділиться на це число.
3) а3 + b3 = (а + b)(а2 – ab + b2). Сума кубів ділиться на число, якщо на це число ділиться (а + b).
695. Нехай 2n – 1 і 2n + 1 – дані числа. Тоді (2n – 1)3 + (2n + 1)3 = (2n – 1 + 2n + 1)((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2) = 4n((2n – 1)2 – (2n – 1)(2n + 1) + (2n + 1)2); ділиться на 4, бо 4 ділиться на 4.
696. 3n + 1 і 3n + 2 – дані числа.
Ділиться націло на 9, бо 9 ділиться на 9.
701. Нехай у II ящику x кг яблук, а у І ящику (x + 12) кг. Після перекладання яблук в І ящику стало (x + 12 – 4) кг, а у II ящику – (x + 4) кг.
За умовою 
X = 6 кг яблук у другому ящику; 6 + 12 = 18 кг яблук у першому ящику.
702. 316 + 716.
316 закінчується цифрою 1: (34)4 = …1.
716 закінчується цифрою 1: ((72)2)4 = …1.
Тому 316 + 716 закінчується цифрою 2.
705. 1) (x – 4)(x + 3) = 0; x – 4 = 0 або x + 3 = 0; x = 4 або x = -3;
2) x2 – 81 = 0; (x – 9)(x + 9) = 0; x – 9 = 0 або x + 9 = 0; x = 9 або x = -9;
3) 7×2 + 21x = 0; 7x(x + 3) = 0; x = 0 або x + 3 = 0; x = -3;
4) 9×2 – 6x + 1 = 0; (3x – 1)2 = 0; 3x – 1 = 0; 3x = 1; x = 1/3;
5) x(x + 7)(3x – 2) = 0; x = 0 або x + 7 = 0; x = -7 або 3x – 2 = 0; 3x = 2; х = 2/3;
6) 12×3 – 2×2 = 0; 2×2(x – 1) = 0; x = 0 або x – 1 = 0; x = 1.
