ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ПОВТОРЕННЯ

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ВИРАЗИ І ТОТОЖНОСТІ

Вирази
Числові	Буквені
Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом.	Запис, в якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається виразом зі змінними.
24 : 4 + 5 або (12 – 2) ∙ 0,5	(2 + а) : 30 або Х + 4 ,

Означення

Приклад

Цілий

вираз – це вираз, який не містить ділення на вираз зі змінними

4а – 3b, 12х + 17, 3c – ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Усі значення змінної, допустимі для певного виразу, утворюють область допустимих значень (ОДЗ) змінної цього виразу.

Вираз	ОДЗ виразу
	Х ≠ -12
	Х – будь-яке число
	Х ≠ -7 і х ≠ 3

Два вирази називаються тотожно рівними, якщо вони набувають відповідно рівних значень за будь-яких значень

їх змінних.

Означення

Приклад

Тотожність – це рівність, ліва і права частини якої є тотожно рівними виразами

10х – (6y – 3х) = 7х – 6y,

А2 – b2 = (а + b)(а – b)

Довести тотожність означає довести рівність її лівої і правої частин.

Способи доведення тотожностей

Назва способу	Сутність способу	Приклад
Перетворення лівої частини рівності	Перетворити вираз у лівій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її правій частині	(a – 2b)(a + 2b)(a2 + 4b2) = а4 – 16у2 (а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) = (а2 – 4b2)(a2 + 4b2) = а4 – 16y2
Перетворення правої частини рівності	Перетворити вираз у правій частині даної рівності так, щоб він набув вигляду виразу в її лівій частині	(а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) = А4 – 16y2 А4 – 16у2 = = (а2 – 4b2)(а2 + 4b2) = = (а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2)
Перетворення обох частин рівності	Перетворити вирази в обох частинах даної рівності так, щоб вони набули одного й того самого вигляду	(а – 2b)(a + 2b)(а2 + 4b2) = а4 – 16y2 (а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) = (а2 – 4b2)(a2 + 4b2) А4 – 16у2 = (а2 – 4b2)(a2 + 4b2)
Різницеве Порівняння	Перевірити, чи дорівнює нулю різниця виразів у лівій і правій частинах даної рівності	(а – 2b)(а + 2)(а2 + 4b2) = а4 – 16у2 (а – 2b)(а + 2b)(а2 + 4b2) – (а4 – 16) = (а2 – 4b2)(а2 + 4b2) – (а4 – 16y2) = (а4 – 16у2) – (а4 – 16у2) = 0

СТЕПЕНІ

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Будь-який натуральний степінь числа 1 дорівнює 1	1n = 1	12016 = 1
Будь-який натуральний степінь числа 0 дорівнює 0	0n = 0	02016 = 0
Будь-який натуральний степінь додатного числа – число додатне	Аn >0, якщо а >0, n – натуральне число	48 > 0
Парний натуральний степінь від’ємного числа – число додатне	Аn > 0, якщо а < 0, n = 2k, k - натуральне число	(-4)8 > 0
Непарний натуральний степінь від’ємного числа – число від’ємне	Аn < 0, якщо а < 0, n = 2k - 1, K – натуральне число	(-4)9

Дії першого ступеня зі степенями

Переставна властивість
Аn + аm – = аm + аn	52 + 53 = 53 + 52 150 = 150
Аn + bn = bn + an	52 + 42 = 42 + 52 41 = 41
Для віднімання переставна властивість виконується не завжди	52 – 53 ≠ 53 – 52 – 100 ≠ 100
52 – 42 ≠ 42- 52 9 ≠ -9
Сполучна властивість
(an + am ) + аk = аn + (аm + аk )	(52 + 53) + 54 = 52 + (53 + 54) 150 + 625 = 25 + 750 775 = 775
(аn + bn) + сn = аn + (bn + сn)	(32 + 42) + 52 = 32 + (42 + 52) 25 + 25 = 9 + 41 50 = 50
(аn – аm) – аk = аk – (аm + аk)	(52 – 53) – 54 = 52 – (53 + 54) -100 – 625 = 25 – 750 -725 = -725
(аn – bn) – сn = аn – (bn + сn)	(32 – 42) – 52 = 32 – (42 + 52) -7 – 25 = 9 – 41 – 32 = -32

Дії другого ступеня зі степенями

Переставна властивість
An ∙ am = am∙ an	22 ∙ 23 = 23 ∙ 22 32 = 32
Аn ∙ bn= bn ∙ аn	22 ∙ 42 = 42 ∙ 22 64 = 64
Для ділення переставна властивість виконується не завжди	22 : 23 ≠ 23 : 22 ≠ 2
22 : 42 ≠ 42 : 22 ≠ 4
Сполучна властивість
(аn ∙ аm) ∙ аk = аn ∙ (аm ∙ аk)	(22 ∙ 23) ∙ 24 = 22 ∙ (23 ∙ 24) 32 ∙ 16 = 4 ∙ 128 512 = 512
(an ∙ bn) ∙ cn = an ∙ (bn ∙ cn)	(32 ∙ 42) ∙ 22= З2 ∙ (42 ∙ 22) 144 ∙ 4 = 9 ∙ 64 576 = 576
Для ділення сполучна властивість виконується не завжди	(22 : 23) : 24 ≠ 22 : (23 : 24) : 16 ≠ 4 : ≠ 8
(32 : 42) : 22 ≠ 32 : (42 : 22) : 4 ≠ 9 : 4 ≠ 2
Розподільна властивість
(an + am) ∙ ak = anak + amak	(22 + 23) ∙ 24 = 22 ∙ 24 + 23 ∙ 24 12 ∙ 16 = 64 + 128 192 = 192
(аn + bn) ∙ сn = аnсn + bnсn	(32 + 42) ∙ 22 = 32 ∙ 22 + 42 ∙ 22 25 ∙ 4 = 36 + 64 100 = 100

(an + am) : ak = an : ak + am : ak,

(a ≠ 0)

(22+23) : 24 = 22 : 24 + 23 : 24

12 : 16 = ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ +

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ =

(an + bn) : сn = аn : cn + bn : cn,

(c ≠ 0)

(32 + 42) : 22 = 32 : 22 + 42 : 22

25 : 4 = ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ + 4

6 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ = 6

Властивість степенів із рівними основами
Аn ∙ аm = аn+m	23 ∙ 22 = 23+2 = = 25= = 32
Аn : аm = аn-n, (n > m, a ≠ 0)	23 : 22 = = 23-2 = = 21 = = 2
Властивість степенів із різними основами і рівними показниками
Аn ∙ bn = (аb)n	32 ∙ 42= (3 ∙ 4)2= = 122= = 144
= ()n, (b ≠ 0)	62 : 32 = (6 : 3)2= = 22 = = 4
Дія третього ступеня зі степенями
(am)n = аmn	(32)3 = 32 ∙ 3= = 36 = 729

ОДНОЧЛЕНИ

Цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх натуральних степенів, називається одночленом.

Одночлен	Стандартний вигляд одночлена	Коефіцієнт Одночлена	Степінь Одночлена
X	X	1	1
3,5х3y	3,5х3у	3,5	3 +1 = 4
-x5y8ax	-ax6y8	-1	1 + 8 + 6 =15
6x5y8∙ 0,5y2	3х5y10	3	5 + 10 = 15
5	5	5	0

Дії першого ступеня з одночленами

Переставна властивість
12х5 + у2 = у2 + 12х5	12х5 – у2 ≠ у2 -12х5
Сполучна властивість
(12х5 + у2) + 6х = 12х5 + (у2 + 6х)	(12х5 – у2) – 6х ≠ 12х5 – (y2 – 6х) (12х5 – у2) – 6х = 12х5 – (у2 + 6х)

Дії другого ступеня з одночленами

Переставна властивість
12х5 ∙ у2 = у2 ∙ 12х5	12х5 : у2 ≠ у2 : 12х5
Сполучна властивість
(12х5 ∙ у2) ∙ 6х = 12х5 ∙ (у2 ∙ 6х)	(12х5 : у2) : 6х ≠ 12х5 : (y2 : 6х) (12х5 : у2) : 6х = 12х5 : (у2 ∙ 6х)

Дія третього ступеня з одночленами

Правило

Приклад

Щоб піднести одночлен до n-го степеня, треба піднести до цього степеня кожний множник даного одночлена та обчислити коефіцієнт отриманого одночлена

(0,5a7c2)2=

= 0,52a7∙ 2c2 ∙ 2 =

= 0,25а14с4

МНОГОЧЛЕНИ

Вираз, що є сумою кількох одночленів, називається многочленом.

Якщо многочлен подано в стандартному вигляді, то степенем цього многочлена називається степінь його старшого члена.

Многочлен	Стандартний вигляд Многочлена	Вільний член Многочлена	Старший Член многочлена	Степінь Многочлена
X2 – 7x – 2	Х2 – 7Х – 2	-2	X2	2
-х + 3 + 2х	Х + 3	3	X	1
5х2 – 1 + 5у – 3	5х2 + 5у – 4	-4	5х2	2

Дії першого ступеня з многочленами

Переставна властивість
0,3х + (y2 + 2) = (у2 + 2) + 0,Зх	(12 – х) + (у2 + 2) = (у2 + 2) + (12 – х)
0,3х -(у2 + 2) ≠ (у2 + 2) – 0,3х	(12- х) + (y2 + 2) = (у2 + 2) + (12 – х)
Сполучна властивість
(0,3х + (у2 + 2))+ у2= = 0,3х + ((у2 + 2) + у2)	((х + 3) + (у2 + 2)) + (1 – х) = (x + 3) + ((y2 + 2) + (1 – х))
(0,3х – (у2 + 2)) – у2= = 0,3х -((у2 + 2) + y2)	((х + 3) – (у2 + 2)) – (1 – х)= = (х + 3) – ((1 – х) + (y2 + 2))

Множення многочленів

Одночлен

Означає скласти вираз, що є сумою добутків

Кожного

Члена

Многочлена

І даного одночлена

Та спростити його, якщо це можливо

Помножити

Многочлен

На

Многочлен

На кожен член іншого многочлена

Формула множення одночлена на двочлен

Формула множення двочленів

С(а + b) = са + сb

(а+ b)(c + d) – ac + ad + bc + bd

12х5 – (у2 + 2)=

= 12х5 – у2 + 12х5 ∙ 2 =

= 12х5y2 + 24х5

(12×5 – х) ∙ (у2 + 2)=

= 12х5 ∙ y2 + 12х5 ∙ 2 – х ∙ у2 – х ∙ 2 =

= 12х5у2 + 24х5 – ху2 – 2х

Властивості множення многочленів

Переставна властивість
12х5 ∙ (у2 + 2) = (у2 + 2) ∙ 12х5	(12х5 – х) ∙ (у2 + 2) = (у2 + 2) ∙ (12×5 – х)
Сполучна властивість
((у2 + 2) ∙ 12х5) ∙ 6х = = (у2 + 2) ∙ (12х5 ∙ 6х)	((х + 3) ∙ (у2 + 2)) ∙ (1 – х)= = (х + 3) ∙ ((у2 + 2) ∙ (1 – х))

Дія третього ступеня з многочленами

Правило

Приклад

Щоб піднести многочлен до n-го степеня, треба помножити цей многочлен на себе п разів

(а + b)2 = (а + b)(а + b)

(а + b)3 = (а + b)(а + b)(а + b)

Формули скороченого множення

Формула

Приклад

Квадрат двочлена:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2

(а – b)2= а2 – 2аb + b2

(2а + 3b)2=

= (2а)2 + 2 ∙ 2а ∙ 3b + (3b)2 =

= 4а2 + 12аb + 9b2

(5 – 6bс)2 =

= 52 – 2 ∙ 5 ∙ 6bс + (6bс)2 =

= 25 – 60bс + 36b2с2

Різниця квадратів:

А2 – b2 = (а + b)(а – b)

4х2 – 9у2 = (2х + 3у)(2х – 3у)

Сума і різниця кубів:

А3 + b3 = (а+ b)(а2 – ab + b2)

А3 – b3 = (а – b)(a2 + ab + b2)

125а3b3 + с3 =

= (5аb + с) ∙ (25а2b2 – 5аbс + с2)

8х3 – 27у3 =

= (2х – 3у) ∙ (4х2 + 6ху + 9y2)

Розкладання многочленів на множники

Спосіб	Приклад
Винесення спільного множника за дужки	6х2y3 – 24х4у 3 + 18х3у2 = = 6х2у2(у – 4х2у + 3х)
Застосування формул скороченого множення	64х6y6 – х3y3= = х3у3(4ху – 1)(16x2y2 + 4ху + 1)
Спосіб групування	2х2у2 – 3ху + 4х3у3 – 6х2y2 = = ху((2ху – 3) + 2ху(2ху – 3)) = = ху(2ху -3)(1 + 2ху)

Означення	Приклад
Правило, згідно з яким кожному значенню незалежної змінної ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної, називають функцією	У = f(x), наприклад, у = х2 + 5 У = F(х), наприклад, у = 2 – 5х 2 = g(t), наприклад, z = 3t3 + 1 X = ф(t), наприклад, х = 4,1 t – 2,7
Незалежну змінну називають аргументом функції, а залежну змінну – функцією	У = f(x) : х – аргумент, у – функція У = F(х): х – аргумент, у – функція Z = g(t) : t – аргумент, z – функція Х = ф(t) : t – аргумент, х – функція
Усі можливі значення аргументу утворюють область визначення функції, а відповідні значення залежної змінної – область значень функції	У = х2 – 2x + 3: Область визначення – будь-які числа, область значень – будь-які числа у = \|x\|: Область визначення – будь-які числа, область значень – будь-які невід’ємні числа

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ФУНКЦІЇ

Функція вважається заданою, якщо:

1) задано область її визначення;

2) указано правило, згідно з яким для кожного значення аргументу можна знайти відповідне значення залежної змінної (функції).

Способи задания функції:

1) аналітичний;

2) описовий;

3) табличний;

4) графічний.

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

Означення

Приклад

Лінійним рівнянням з однією змінною називається рівняння виду ах + b = 0 , де х – змінна, a і b – деякі числа

4х – 2 = 0,

-12х + 48 = 0,

7х = 0

Розв’язування лінійних рівнянь з однією змінною

Значення А і b	Вигляд рівняння	Розв’язання	Кількість Коренів	Приклад
A ≠ 0, b ≠ 0	Aх + b= 0	Ах = – b, Х= –	1 корінь	4х – 8 = 0, 4х = 8, Х = 2
A ≠ 0, b = 0	Ах = 0	Х= 0 : а, х = 0	1 корінь	5х = 0, Х = 0
А = 0, b ≠ 0	0 ∙ х + b = 0	0 ∙ х = – b	Немає Коренів	0х + 7 = 0, 0х = -7, Коренів немає
A = 0, B = 0	0 ∙ x = 0	0 ∙ х = 0	Безліч Коренів	0х = 0, Безліч коренів