Тотожності
УРОК № 2
Тема. Тотожності sin 2 ? + cos 2 ? = 1; sin (180°- ?) = sin?; cos (180°- ?) = – cos?; sin (90°- ?) = cos?; cos (90°- ?) = sin?
Мета уроку: виведення формул sin2? + cos2? = 1; sin(180°- ?) = sin?; cos(180°- ?) = – cos?; sin(90°- ?) = cos?; cos(90°- ?) = sin?. Формування вмінь учнів знаходити тригонометричні функції тупих кутів.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця “Співвідношення між сторонами і кутами трикутника” [13], табл. 1. Вимоги до рівня підготовки учнів: застосовують формули sin2? + cos2? = 1; sin(180°- ?) = sin?; cos(180°- ?) = – cos?; sin(90°- ?) = cos?; cos(90°- ?) = sin? до розв’язування вправ.
Хід уроку
I.
Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів у ході виконання домашніх завдань.
Фронтальне опитування
1) Сформулюйте означення синуса, косинуса, тангенса кутів від 0° до 180°.
2) Користуючись таблицею (або калькулятором), знайдіть:
A) sin 112°, cos 112°, tg 112°;
Б) sin 149°, cos 149°, tg 149°;
В) sin 167°, cos 167°, tg 167°.
II. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Основна тригонометрична тотожність
Слід зазначити, що основну тригонометричну тотожність sin2? + cos2? = 1 у восьмому класі доведено для гострого кута?. Покажемо,
Якщо кут? – тупий (рис. 6), тоді із прямокутного трикутника ОАВ (
В = 90°, АВ = у, ВО = – х, ОА = 1) за теоремою Піфагора маємо: ОВ2 + АВ2 = ОА2, (-x)2 + у2 = 1, х2 + у2 = 1. Ураховуючи, що x = cos?, у = sin?, маємо sin2? + cos2? = 1.
Якщо? = 0°, тоді cos2 0° + sin2 0° = 12 + 02 = 1.
Якщо? = 90°, тоді cos2 90° + sin2 90° = 02 + 12 = 1.
Якщо? = 180°, тоді cos2 180° + sin2 180° = (-1)2 + 02 = 1.
Отже, для будь-якого кута? (0° < ? < 180°) виконується тотожність sin2 ? + cos2 ? = 1.
Формули доповнення
У 8-му класі для гострого кута а було доведено формули доповнення, які виражають функції кута 90°- ? через функції кута?. Нагадаємо їх:
Sin(90° – ?) = cos?, cos(90° – ?) = sin?, tg(90°- ?) = 
або tg(90°- ?) = ctg?.
Наприклад, sin 30° = cos 60° = 
, cos 45° = sin 45° = 
, cos 30° = sin 60° = 
.
Слід зазначити, що ці формули справедливі і для тупого кута a, проте це спричинює необхідність вводити тригонометричні функції від’ємних кутів. Із цим матеріалом учні ознайомляться в 10-му класі.
Формули sin(180°- ?) = sin?, cos(180°- ?) = – cos?
Розглянемо коло з центром О у початку координат і радіусом 1. Відкладемо кут? – гострий кут, який утворює радіус кола з додатною віссю Ох. Побудуємо кут 180°- ?. Для цього відкладемо кут В1ОА1 від від’ємної півосі Ох, тоді A1OB = 180° – ? (рис. 7).
Нехай координати точок А і А1 відповідно (х; у) і (х1; у1), ?ОВА = ?ОВ1А1 (за гіпотенузою і гострим кутом). Тоді sin (180°- ?) = y1 = y = sin?, cos (180°-?) = = х1 = – x = – cos?, tg (180°- ?) = 
= 
= 
= – tg?. Ці формули дають можливість, знаючи значення тригонометричних функцій гострих кутів, знаходити значення тригонометричних функцій тупих кутів.
Наприклад,
Sin 120° = sin (180° – 60°) = sin60° = ,
Cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = 
,
Tg 120° = tg (180° – 60°) = – tg 60° = 
.
Далі слід запропонувати учням знайти: sin 135°, cos 135°, tg 135°, sin 150°, cos 150°, tg 150°. Після цього результати треба занести до табл. 1, якою учні будуть користуватися протягом наступних уроків.
Таблиця 1
Функція | Кут | ||||||
30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | |
Sin? |
|
|
| 1 |
|
|
|
Cos? |
|
|
| 0 |
|
|
|
Tg? |
| 1 |
| – |
| – 1 |
|
III. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Виконання вправ
1. Спростіть вираз:
A) 1 – cos2?;
Б) (1 – cos?)(1 + cos?);
В) sin4? + sin2?cos2? + cos2?;
Г) 1 + 2sin2?cos2?.
2. Знайдіть:
А) cos? і tg?, якщо sin? = 0,8 і 90° < ? < 180°;
Б) sin? і tg?, якщо cos? = 
і 90° < ? < 180°.
IV. Домашнє завдання
1. Вивчити формули та значення тригонометричних функцій деяких кутів (табл. 1).
2. Знайти cos? і tg?, якщо sin? = 
і 90° < ? < 180°.
3. Спростити sin4? + sin2?cos2? – sin2? + 1.
V. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
А) sin? = , cos? = 
;
Б) sin? = , cos? = ?
2. Визначте знак виразу:
а) sin 171°; б) cos 139°; в) tg 173°.
