Вертикальні кути

Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості

§ 5. Вертикальні кути

152. 1) ∠AYX і ∠BYZ – вертикальні; 2) ∠OLK і ∠MLN – не вертикальні.

153. 1) ∠AOD – вертикальний з кутом 1; 2) ∠АОС і ∠DOB – суміжні з кутом 1.

154.

∠BOA і ∠COD – суміжні.

∠BOA = ∠COD = 60°.

155. 1)

∠DOB = ∠COA = 45°;

2)

∠MOL = ∠NOK = 90°.

156. ∠AOB = ∠DOC = 41°; ∠KOL = ∠MON = 149°.

157.

158.

∠1	12°	121°	34°	143°	156°	65°	178°	87°
∠2	12°	121°	34°	143°	156°	65°	178°	87°
Кут між прямими	Так	Ні	Так	Ні	Ні	Так	Ні	Так

159. Мал. 97. α + α = 100°; 2α = 100°; α = 100° : 2 = 50°.

Мал. 98. β + β – 220°; 2β = 220°; β = 220° : 2 = 110°.

Відповідь: 50° і 50°; 110° і 110°.

160. 1) 30° : 2 = 15°. Отже, вертикальні кути дорівнюють 15° і 15°.

2) 211° : 2 = 105°30′. Отже, вертикальні кути дорівнюють 105°30′ і 105°30′.

3) 67° : 2 = 33°30′.

Отже, вертикальні кути дорівнюють 33°30′ і 33°30′.

4) 190° : 2 = 95°. Отже, вертикальні кути дорівнюють 95° і 95°.

161. Вертикальні кути можуть бути:

1) гострими β < 90°;

2) тупими 90° < β < 90°;

3) прямими β = 90°.

162. Мал. 99. ∠BOC = ∠DOA = 130°- як вертикальні кути;

∠BOD = 180° – ∠BOC = 180° – 130° = 50° – як суміжні кути;

∠AOC = ∠BOD = 50° – як вертикальні кути.

Відповідь: 130°; 50°; 50°.

Мал. 100. ∠COA = ∠BOD = 72° – як вертикальні кути;

∠BOC = 180° – ∠BOD = 180° – 72° = 108° – як суміжні кути;

∠DOA = ∠BOC = 108° – як вертикальні кути.

Відповідь: 72°; 108°; 108°.

163.

Якщо ∠LOP = α, то ∠KOM = α – як вертикальні кути; ∠KOL = ∠MOP – як вертикальні кути; ∠KOL = 180° – ∠LOP = 180° – α.

1) Якщо α = 40°, то ∠КОМ = 40°, ∠KOL = ∠MOP = 180° – 40° = 140°;

2) якщо α = 12°, то ∠KOM = 12°, ∠KOL = ∠MOP = 180° – 12° = 168°;

3) якщо α = 25°, то ∠KOM = 25°, ∠KOL = ∠MOP = 180° – 25° = 155°.

4) якщо α = 17°, то ∠KOM = 17°, ∠KOL = ∠MOP = 180° – 17° = 163°.

Відповідь: 1) 40°, 140°, 140°; 2) 12°, 168°, 168°; 3) 25°, 155°, 155°; 4) 17°, 163°, 163°.

164. 1) Менший кут дорівнює (180° – 14°) : 2 = 83°, більший дорівнює 180° – 83° = 97°. Отже, утворилися кути: 83°, 97°, 83°, 97°.

2) Менший кут дорівнює (180° – 56°) : 2 = 62°, більший дорівнює 180° – 62° = 118°. Отже, утворилися кути: 62°, 118°, 62°, 118°.

3) Менший кут дорівнює (180° – 38°) : 2 = 71°, більший дорівнює 180° – 71° = 109°. Отже, утворилися кути: 71°, 109°, 71°, 109°.

4) Менший кут дорівнює (180° – 70°) : 2 = 55°, більший дорівнює 180° – 55° = 125°. Отже, утворилися кути; 55°, 125°, 55°, 125°.

165. Вертикальні кути: ∠LFD і ∠AFB, ∠LFD i ∠DFB.

Суміжні кути: ∠LFD і ∠AFL, ∠LFD і ∠DFВ, ∠AFB і ∠LFA, ∠AFB і ∠BFD.

166. Вертикальні кути: ∠AOD і ∠BOL, ∠AOL і ∠DOB.

167.

Оскільки вертикальні кути рівні і їх сума більша за один із них на а, то вертикальні кути дорівнюють: 1) 45° і 45°; 2) 90° і 90°; 3) 109° і 109°; 4) 130° і 130°.

168.

1) Якщо ∠1 = 105°, то ∠2 = 180° – 105° = 75°. ∠2 + ∠3 = 75° х 2 = 150°.

2) Якщо ∠1 = 71°30′, TO ∠2 = 180° – 71°30′ = 108°30′. ∠2 + ∠3 = 2 х 108°30′ = 217°.

3) Якщо ∠1 = 93°35′, TO ∠2 = 180° – 93°35′ = 86°25′. ∠2 + ∠3 = 2 x 86°25′ = 172°50′.

4) Якщо ∠1 = 120°45′, то ∠2 = 180° – 120°45′ = 59°15′. ∠2 + ∠3 = 2 х 59°15′ = 118°30′.

Відповідь: 1) 150°; 2) 217°; 3) 172°50′; 4) 118°30′.

169.

170.

Так, кути можуть бути рівними, але не бути вертикальними. Наприклад: ∠KMP = ∠LMR = β, але ∠KMP і ∠LMR не вертикальні.

171. Два нерівні кути не можуть бути вертикальними, оскільки вертикальні кути рівні.

172. Вертикальні кути: ∠LAD і ∠CAB, ∠LAC і ∠DAB, ∠KCQ і ∠ACB, ∠KCA і ∠QCB, ∠CBA і ∠EPF, ∠CBF і ∠ABE.

173.

Нехай ∠NLM = ∠COB, тоді ∠KLP = ∠NLM-як вертикальні кути, ∠AOD = ∠COB-як вертикальні кути. Оскільки ∠NLM = ∠COB – за умовою, то ∠KLP = ∠AOD. Отже, якщо два кути рівні, то вертикальні з ними також рівні.

174. Утворилося 6 пар вертикальних кутів: ∠KCM і ∠DCL, ∠KCB і ∠ACL, ∠MCB і ∠ACB, ∠MCL і ∠DCK, ∠BCL і ∠ACK, ∠BCD і ∠ACM.

Утворилося 12 пар суміжних кутів: ∠ACK і ∠KCB, ∠ACM і ∠MCB, ∠ACD і ∠DCB, ∠ACL і ∠LCB, ∠DCA і ∠ACM, ∠DCK і ∠KCM, ∠DCL і ∠LCM, ∠DCB і ∠BCM, ∠KCM і ∠MCL, ∠KCB і ∠BCL, ZKCA і ∠ACL, ∠KCD і∠DCL.

175. При перетині двох прямих утворюється дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Сума будь-яких суміжних кутів дорівнює 180°, а сума двох вертикальних кутів відмінна від 180°. Отже, за умовою задачі задана сума вертикальних кутів.

1) Один із кутів дорівнює 102° : 2 = 51°, а суміжний з ним кут дорівнює 180° – 51° = 129°. Отже, утворені кути дорівнюють: 51°, 129°, 51°, 129°.

2) Один із кутів дорівнює 320° : 2 = 160°, тоді суміжний з ним кут дорівнює 180° – 160° = 20°. Отже, утворені кути дорівнюють: 160°, 20°, 160°, 20°.

3) Один із кутів дорівнює 238° : 2 = 119°, тоді суміжний з ним кут дорівнює 180° – 119° = 61°. Отже, утворені кути дорівнюють: 119°, 61°, 119°, 61°.

4) Один із кутів дорівнює 182° : 2 = 91°, тоді суміжний з ним кут дорівнює 180° – 91° = 89°. Отже, утворені кути дорівнюють: 91°, 89°, 91°, 89°.

Відповідь: 1) 51°, 129°, 51°, 129°; 2)160°, 20°, 160°, 20°; 3) 119°, 61°, 119°, 61°; 4) 91°, 89°, 91°, 89°.

176. При перетині двох прямих утворилося дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Різниця двох вертикальних кутів дорівнює 0°, а різниці двох суміжних кутів (відмінних від прямих) відмінна від 0°. Отже, за умови задачі задана різниця суміжних кутів.

1) Менший кут дорівнює (180° – 29°) : 2 = 75°30′, тоді більший кут дорівнює 180° – 75°30′ = 104°30′. Отже, утворилися кути: 75°30′, 75°30′, 104°30′, 104°30′.

2) Менший кут дорівнює (180° – 115°) : 2 = 32°30′, тоді більший кут дорівнює 180° – 32°30′ = 147°30′. Отже, утворилися кути: 32°30′, 32°30′, 147°30′, 147°30′.

3) Менший кут дорівнює (180° – 107°) : 2 = 36°30′, тоді більший кут дорівнює 180° – 36°30′ = 143°30′. Отже, утворилися кути: 36°30′, 36°30′, 143°30′, 143°30′.

4) Менший кут дорівнює (180° – 53°) : 2 = 63°30′, тоді більший кут дорівнює 180° – 63°30′ = 116°30′. Отже, утворилися кути: 63°30′, 63°30′, 116°30′, 116°30′.

Відповідь: 1) 75°30′, 75°30′, 104°30′, 104°30′; 2) 32°30′, 32°30′, 147°30′, 147°30′; 3) 36°30′, 36°30′, 143°30′, 143°30′; 4) 63°30′, 63°30′, 116°30′, 116°30′.

177. При перетині двох прямих утворюється дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Частка двох вертикальних кутів дорівнює 1 (оскільки вертикальні кути рівні), а частка двох суміжних кутів (відмінних від прямих) не дорівнює 1. Отже, за умовою задачі задана частка суміжних кутів.

1) Менший кут дорівнює 180° : 10 х 1 = 18°, а більший кут – 180° : 10 х 9 = 162°. Отже, утворилися кути: 18°, 18°, 162°, 162°.

2) Менший кут дорівнює 180° : 12 х 1 = 15°, а більший кут дорівнює 180° : 12 х 11 = 165°. Отже, утворилися кути: 15°, 15°, 165°, 165°.

3) Менший кут дорівнює 180° : 6 х 1 = 30°, а більший кут дорівнює 180° : 6 х 5 = 150°. Отже, утворилися кути: 30°, 30°, 150°, 150°.

4) Менший кут дорівнює 180° : 18 х 1 = 10°, а більший кут дорівнює 180° : 18 х 17 = 170°. Отже, утворилися кути: 10°, 10°, 170°, 170°.

Відповідь: 1) 18°, 18°, 162°, 162°; 2) 15°, 15°, 165°, 165°; 3) 30°, 30°, 150°, 150°; 4) 10°, 10°, 170°, 170°.

178.

179. 1) Оскільки сума кутів кратна 9 і лежить в межах від 55° до 70°, то ця сума дорівнює 63°. Оскільки вертикальні ку ти рівні, то кожен з них дорівнює 63° : 2 = 31°30′.

2) Оскільки сума кутів кратна 9 і лежить в межах від 111° до 120°, то ця сума дорівнює 117°. Оскільки вертикальні кути рівні, то кожен з них дорівнює 117° : 2 = 58°30′.

3) Оскільки сума кутів кратна 9 і лежить в межах від 241° до 249°, то ця сума дорівнює 243°. Оскільки вертикальні кути рівні, то кожен з них дорівнює 243° : 2 = 121°30′.

Відповідь: 1) 31°30′, 31°30′; 2) 58°30′, 58°30′; 3) 121°30′, 121°30′.

180.

Нехай ∠COB і ∠AОВ – вертикальні, OL – бісектриса ∠COB, ОК – бісектриса ∠AOB. Доведено, що ∠KOL = 180°. Оскільки ∠COB = ∠AOB, то ∠BOL = ∠AOK – як половина рівних кутів. Тоді ∠KOL =∠AOK + ∠AOC + ∠COL = ∠AOC + (∠BOL + ∠COL) = ∠AOC + ∠COB = 180°. Отже, бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут.

181.

Кількість вертикальних кутів збільшилася на 4 пари, оскільки третя пряма утворює з кожною із даних прямих по 2 пари вертикальних кутів. Всього утворилося 6 пар вертикальних кутів. Кількість суміжних кутів збільшилася на 8 пар, оскільки третя пряма утворює з кожною із даних прямих 4 пари суміжних кутів. Всього утворилося 12 пар суміжних кутів.

Якщо провести четверту пряму, то утвориться 6 + 3 x 2 = 12 вертикальних кутів і 12 + 3 х 4 = 24 суміжних кутів. Якщо провести п’яту пряму, то утвориться 12 + 4 x 2 = 20 вертикальних кутів і 24 + 4 x 4 = 40 суміжних кутів.

182.

1) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 7/6 – 180° = 210°, ∠1 + (∠2 + ∠3) = 210°, ∠1 + 180° = 210°, ∠1 = 210° – 180° = 30°. Отже, прямі перетинаються під кутом 30°.

2) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 16/9 – 180° = 320°, ∠1 + (∠2 + ∠3) = 320°, ∠1 + 180° = 320°, ∠1 = 320° – 180° = 140°. Тоді ∠2 = 180° – 140° = 40°. Отже, прямі перетинаються під кутом 40°.

3) ∠1 + ∠2 + ∠3 = 0,25 х 5 х 180° = 225°, ∠1 + (∠2 + ∠3) = 225°, ∠1 + 180° = 225°, ∠1=45°. Отже, прямі перетинаються під кутом 45°.

∠1 + 180° = 240°, ∠1 = 240° – 180° = 60°. Отже, прямі перетинаються під кутом 60°.

Відповідь: 1) 30°, 2) 40°, 3) 45°, 4) 60°.

183.

Нехай прямі а і b перетинаються, прямі с і d містять бісектриси двох суміжних кутів. Оскільки бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут, то прямі c i d перетинаються під прямим кутом.

184.

Нехай прямі а і b перетинаються, прямі c i d містять бісектриси утворених вертикальних кутів, а отже містить бісектриси двох суміжних кутів. Оскільки бісектриси двох суміжних кутів утворюють прямий кут, то і прямі c i d перетинаються під прямим кутом.

Застосуйте на практиці

185.

Спочатку слід зігнути аркуш паперу навпіл, а потім ще раз зігнути навпіл. Щоб на згинах отримати дві прямі, що перетинаються під кутом 45°, треба спочатку зігнути аркуш паперу навпіл, потім ще раз зігнути навпіл, а потім зігнути по бісектрисі кута.

186.

187.

Бісектриса кута між напрямками “північ” і “схід” є промінь МК, бісектриса кута між напрямком “північ” і “захід” є промінь ML. Оскільки кути NMW і OMS – вертикальні, а промені МК і ML – їх бісектриси, то ∠LMK – розгорнутий (бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут). Отже, бісектриси цих напрямків лежать на одній прямій.