ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

РОЗДІЛ 1 НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
& 2. ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Дві точки прямої розділяють цю пряму на три частини: два промені і відрізок.

Відрізком АВ називають частину прямої, яка складається з точок А і В та всіх точок, що лежать між ними.

Точки А і В називають кінцями відрізка АВ. Усі інші точки цього відрізка – його внутрішні точки.

На малюнку 19 зображено відрізок АВ. Точки А і В – його кінці, а будь-яка точка, що лежить між точками А і В, – внутрішня точка відрізка АВ.

Два відрізки перетинаються, якщо вони мають тільки одну спільну внутрішню точку.

Щоб виміряти відрізки, треба мати одиничний відрізок (одиницю виміру). Відрізок, зображений на малюнку 20, вважатимемо одиничним. Його довжина дорівнює 1 см.

Якщо на відрізку АВ одиничний відрізок відкладається рівно 3 рази, то це означає, що довжина відрізка АВ дорівнює 3 см (мал. 21).

Якщо на відрізку ЕР одиничний відрізок відкладається два рази з остачею, а в остачі десята частина одиничного відрізка відкладається 7 разів, то довжина відрізка ЕР дорівнює 2,7 см. Пишуть: АВ = 3 см,

ЕР = 2,7 см.

За одиничний відрізок можна брати відрізок завдовжки 1 м, 1 км, 1 фут, 1 дюйм тощо.

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 19

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 20

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 21

Кожний відрізок має певну довжину.

Два відрізки називають рівними, якщо рівні їх довжини.

Із двох відрізків більшим вважають той, довжина якого більша.

У сантиметрах вимірюють порівняно невеликі відрізки. Більші відрізки вимірюють у дециметрах, метрах, кілометрах; менші – у міліметрах. Нагадаємо, що

1 км = 1000 м, 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм.

Довжину відрізка називають також відстанню між його кінцями. Якщо XY = 18 см, то це означає, що відстань між точками X і Y дорівнює 18 см. Відстань між X і Y завжди дорівнює відстані між Y і X.

Якщо точка С відрізка АВ розбиває його на дві частини, довжини яких дорівнюють, наприклад,

2 см і 1,2 см, то довжина відрізка АВ дорівнює 3,2 см (мал. 22).

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 22

Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які його розбиває будь-яка його внутрішня точка.

Надруковані вище жирним шрифтом два речення, позначені знаком, – це основні властивості вимірювання відрізків.

Серединою відрізка називають його внутрішню точку, яка розбиває цей відрізок на дві рівні частини.

Якщо точка С – середина відрізка АВ, то АС = СВ (мал. 23).

Якщо точка С не належить відрізку АВ, то сума довжин відрізків АС і СВ більша від АВ.

Отже, для будь-яких трьох точок А, В і С завжди АВ + ВС > АС.

Вимірювати довжини відрізків доводиться багатьом фахівцям. Креслярі вимірюють відрізки масштабними лінійками, столяри – складними метрами, кравці – клейончастими сантиметрами, будівельники – рулетками(мал. 24).

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 23

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 24

На малюнку 2 5 зображено відкладання відрізка MN завдовжки 3 см на промені МР за допомогою лінійки.

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 25

Основна властивість відкладання відрізків.

На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.

Для допитливих

На практиці для різних відстаней існують різні назви: довжина, ширина, висота, глибина, дистанція, інтервал (мал. 26).

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 26

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що таке відрізок? Що таке кінці відрізка?

2. Що таке відстань між двома точками?

3. Що означає вислів “два відрізки перетинаються”?

4. Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.

5. Які відрізки називають рівними?

6. Що таке середина відрізка?

7. Яка нерівність виконується для будь-яких трьох точок?

Виконаємо разом

1. Промінь – частина прямої. Чи правильно говорити, що промінь коротший за пряму?

Пряма і промінь не мають довжин, тому порівнювати їх довжини немає сенсу.

Отже, говорити, що промінь коротший за пряму, – неправильно.

2. Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. Знайдіть відстань між точками Р і Т, якщо КР = 1,7 м, КТ = 4,8 м. Скільки розв’язків має задача?

Позначимо точки К і Т такі, що КТ = 4,8 м. Точка Р прямої КТ віддалена від точки К на 1,7 м. Можливі два випадки (мал. 27):

А) точка К лежить між точками Р і Т : РТ = 1,7 м + 4,8 м = 6,5 м;

Б) точка Р лежить між точками К і Т : РТ = 4,8 м – 1,7 м = 3,1 м.

Отже, задача має два розв’язки: 6,5 м; 3,1 м.

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 27

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

31. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо точка С – його середина і СВ = 5 дм.

32. Знайдіть довжину відрізка, який довший за свою половину на 35 см.

33. Точка С ділить відрізок АВ у відношенні 1 : 2. Знайдіть:

1) СВ, якщо АС дорівнює: 1 см; 3 дм; 10 км;

2) АВ, якщо АС дорівнює: 2 см; 5 дм; 30 м;

3) АВ, якщо СВ дорівнює: 2 см; 5 м; 12 км.

34. Знайдіть довжину відрізка, якщо точки К і Р ділять його на три рівні частини і КР = 7 см.

35. Точки А і В лежать по різні боки від прямої а. Чи перетинає відрізок АВ пряму а?

36. Точки К і Р лежать по один бік від прямої с. Чи перетинає відрізок КР пряму с? А пряма с перетинає пряму КР?

37. Точка А лежить між точками В і С. Чи є точка В внутрішньою точкою відрізка АС?

А

38. Позначте на прямій точки А і В. Який відрізок утворився? Зобразіть його середину.

39. Позначте точки А, В, С, D так, щоб ніякі три з них не лежали на одній прямій. Побудуйте відрізки АВ, АС, АD, ВС, ВD, СD.

40. Позначте на прямій точки А, В, С, В так, щоб відрізки АС і ВD не мали спільних точок і щоб точки С і В лежали між точками А і В. Знайдіть спільну частину відрізків АВ і СD.

41. Прямі АВ і СD перетинаються, С – внутрішня точка відрізка АВ. Чи перетинаються відрізки АВ і СD?

42. Відрізок АВ перетинає пряму а, а відрізок ВС не перетинає її, причому С ∉ а. Чи перетинає пряму а відрізок АС?

43. Накресліть відрізки АВ, АС, АD, СВ, CD, BD такі, щоб точка С лежала між точками А і В, а точка В – між С і В. Скільки спільних точок мають відрізки АС і ВD, АС і СD, АВ і СD?

44. Точка X лежить між точками А і В. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо:

А) АХ = 2,5 см, ХВ = 3,4 см;

Б) АХ = 5,3 м, ХВ = 4,2 м;

В) АХ = 2 ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ дм, ХВ = 6 ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ дм.

45. Точка М лежить між точками К і Р. Знайдіть відстань між точками М i Р, якщо:

А) КР = 0,9 дм, КМ = 0,3 дм;

Б) КР = 2,6 дм, КМ = 1,4 дм;

В) КР = 2 ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ дм, КМ = ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ дм.

46. Точка С лежить між точками А і В. АС = 5 см, відстань ВС – на 3 см більша. Знайдіть АВ.

47. Чи лежать точки А, В і С на одній прямій, якщо:

А) АВ = 2,5 см, ВС = 3,8 см, АС = 1,3 см;

Б) АВ = 1,9 дм, ВС = 2,9 дм, АС = 4,9 дм?

48. Точки А, В, С, К лежать на одній прямій. АВ = ВС = СК. Знайдіть СК, якщо АС = 12 см.

49. Чи можна розмістити точки А, В і С так, щоб виконувались рівності:

А) АВ = 2,3 см, ВС = 3,5 см, АС = 6,3 см;

Б) АВ = 5,1 см, ВС = 3,5 см, АС = 6,8 см;

В) АВ = 3,1 см, ВС = 7,2 см, АС = 10,3 см?

Б

50. Чи може відрізок ВС лежати на промені АВ, якщо:

А) АВ = 9,2 cм, ВС = 3,8 см, АС = 13 см;

Б) АВ = 9,2 см, ВС = 3,8 см, АС = 5,4 см;

В) АВ = 9,2 см, ВС = 13,8 см, АС = 4,6 см?

51. На відрізку XY завдовжки 4,8 дм лежить точка С. Знайдіть відстані ХС і СУ, якщо:

А) ХС – СY = 1,3 дм;

Б) СY = 2ХС;

В) ХС : CY =1:5.

52. Точки А, В і С лежать на одній прямій, АВ = 10 дм, ВС = 3 дм. Знайдіть АС. Розгляньте всі можливі випадки.

53. Точки А, В, С, D лежать на одній прямій, В – середина АС, ВС = 7 м, CD = 10 м. Знайдіть АВ.

54. Точки А, В, С, В лежать на одній прямій. Знайдіть CD, якщо АВ = 10 см, АС = 3 см, ВВ = 4 см. Розгляньте всі можливі випадки.

55. Поясніть, як провішують прямі за допомогою віх (мал. 28).

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 28

56. Дано відрізок АВ. Побудуйте відрізок КР:

А) утричі довший за АВ;

Б) удвічі коротший від АВ;

В) якщо КР = 2,5 АВ.

57. Як за допомогою півметрової лінійки побудувати двометровий відрізок?

Практичне завдання

58. Виміряйте довжину і ширину своєї парти.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

59. Перемалюйте в зошит фігуру, зображену на малюнку 29. Знайдіть її площу, прийнявши площу однієї клітинки за 0,25 см2.

60. Накресліть коло радіуса 4 см. Поділіть його на 4 рівні дуги і знайдіть довжину однієї з них.

61. На скільки частин можуть поділити площину два кола, розташовані на ній?

62. Знайдіть довжину ребра куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 6 м.

ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ

Мал. 29


ВІДРІЗКИ І ЇХ ДОВЖИНИ - Математика