Відстань між мимобіжними прямими
Урок 40
Тема. Відстань між мимобіжними прямими
Мета уроку: формування понять спільного перпендикуляра, відстані між мимобіжними прямими.
Обладнання: стереометричний набір.
Хід уроку
1. Фронтальне опитування.
1) Які дві площини називаються перпендикулярними?
2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.
3) Як розташована пряма, яка лежить в одній із двох перпендикулярних площин і перпендикулярна до лінії перетину цих площин, відносно другої площини?
4) Як розташована лінія перетину двох площин, які перпендикулярні,
2. Перевірити правильність виконання задачі № 56 за записами, зробленими на дошці перед уроком.
Задача № 56.
Дано:
АА1
(АВС); ВВ1(АВС); АВ = ВС = АС = 2м, СА1=3м, СВ1 = 7 м; А1К1 = К1В1 (рис. 224).
Знайти: CK1.
1) Із? АА1С АА1 = 
= 
= 
(м).
2) Із? ВВ1С ВВ1 = 
= 
= 3 (м).
3) К1К(АВС), К1К = 
= 2 (м).4) Із? АСК CK = 
= 
= 
(м).
5) Із? KK1С СК1 = 
= 
= 
(м).
Відповідь, м.
Запитання до класу
1) Чому трикутник АА1С – прямокутний?
2) Чому трикутник ВВ1С – прямокутний?
3) Визначте вид чотирикутника АА1В. Чим буде відрізок KK1 для чотирикутника АА1В? Як знайти довжину відрізка КК1?
4) Як по-іншому можна було знайти довжину відрізка СК?
3. Самостійна робота.
Варіант 1
Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Відстані від кінців відрізка до площини дорівнюють 15 і 16 см. Знайдіть проекції відрізка на кожну площину.
Варіант 2
Відрізок довжиною 25 см опирається кінцями на дві взаємно перпендикулярні площини. Проекції відрізка на ці площини дорівнюють 
і 20 см. Знайдіть відстані від кінців відрізка до даних площин.
Варіант З
Кінці відрізка лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах. Проекції відрізка на кожну із площин дорівнюють і 20 см відповідно. Відстань між основами перпендикулярів, проведених із кінців відрізка до площин, дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.
Варіант 4
Із кінців відрізка, що лежать у двох взаємно перпендикулярних площинах, проведено перпендикуляри до цих площин, довжини яких відповідно дорівнюють 16 і 15 см. Відстань між основами цих перпендикулярів дорівнює 12 см. Знайдіть довжину даного відрізка.
Відповідь. Варіант 1. 20 см і 3
см. Варіант 2. 15 см і 16 см. Варіант 3. 25 см. Варіант 4. 25 см.
II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Систематизація відомостей про мимобіжні прямі
Запитання до класу
1) Як можуть розташовуватися дві прямі у просторі?
2) Які прямі називаються мимобіжними?
3) Як через одну з мимобіжних прямих провести площину, паралельну другій прямій?
4) Чи можна через дві мимобіжні прямі провести паралельні між собою площини? Якщо так, то як це зробити? (Виконується побудова на дошці і в зошитах учнів (рис. 225)).
Якщо точка В – точка перетину прямих а1 і b і АВ?, то яке взаємне розташування прямої АВ і прямих а і b?
Спільним перпендикуляром до двох мимобіжних прямих називається відрізок з кінцями на цих прямих, перпендикулярний до кожної з них.
Виконання вправ
1. Вкажіть дві мимобіжні прямі з оточення, а також спільний перпендикуляр до цих прямих.
2. Вкажіть спільні перпендикуляри до прямих АВ і CD на зображенні куба (рис. 226, а, б, в).
Доведення єдності спільного перпендикуляра до мимобіжних прямих а і b можна запропонувати учням розібрати за підручником самостійно, а після цього відповісти на запитання:
1. Чому CDB’?
2. Чому CD??
3. Чому CD || АВ?
4. Чому в площині, яка проходить через прямі АВ і CD, повинні лежати прямі а і b?
5. Чи можуть прямі а і Ь лежати в одній площині?
Виконання вправ
1. Побудуйте спільні перпендикуляри до прямих АВ і CD на зображенні куба (рис. 227).
Рис. 227
2. Побудуйте спільний перпендикуляр до прямих:
1) АВ і SC; 2) AS і ВС; 3) AC і SB на зображенні тетраедра SABC, всі ребра якого рівні.
Формування поняття відстані між мимобіжними прямими та вмінь знаходити її
Відстанню між мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра. Вона дорівнює відстані між паралельними площинами, які проходять через ці прямі.
Розв’язування задач
1. Ребро куба дорівнює 10 см. Яка відстань між прямими а і b (рис. 228)?
Рис. 228
2. Кожне ребро тетраедра SABC дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими AS і ВС.
III. Домашнє завдання
§3, п. 21; контрольні запитання № 13-15.
Розв’язати наступну задачу.
Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює 2 см. Знайдіть відстань між прямими:
A) AD1 і В1С ; б) АВ і СС1; в) АВ і B1D.
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1) Що таке спільний перпендикуляр до мимобіжних прямих?
2) Сформулюйте властивості спільного перпендикуляра до мимобіжних прямих.
3) Що таке відстань між мимобіжними прямими?
4) Чому дорівнює відстань між мимобіжними прямими?
5) Відстань між мимобіжними прямими а і b дорівнює 20 см. Через ці прямі проведено паралельні площини? і? так, що а лежить в?, a b лежить в?. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
1) довжина спільного перпендикуляра прямих а і b дорівнює 10 см;
2) відстань між площинами? і? дорівнює 20 см;
3) відстань між прямою а і площиною р дорівнює 15 см;
4) довжина відрізка з кінцями на прямих а і b може дорівнювати 22 см.
