Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою
Урок 30
Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою
Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин.
Обладнання: стереометричний набір, схема “Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою” (с. 116).
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
1. Колективне обговорення розв’язування задачі № 10.
2. Математичний диктант.
Дано зображення куба: варіант 1 – рис. 151, варіант 2 – рис. 152.
Користуючись
1) площину, яка проходить через точку М прямої AM і перпендикулярна до неї; (2 бали)
2) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку D; (2 бали)
3) пряму, яка перпендикулярна до площини АВС і проходить через точку N; (2 бали)
4) площину, яка перпендикулярна до прямої BD; (2 бали)
5) прямі, які перпендикулярні до площини АМС; (2 бали)
6) площини, які перпендикулярні до прямої DC. (2 бали)
Відповідь.
Варіант 1. 1) (MNK); 2) KD; 3) BN; 4) (ACМ); 5) BD і KN; 6) (ADK) і (BCL).
Варіант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (АСМ); 5) BD i KL; 6) (BCN) і (ADM).
II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Властивості
Теорема 1.
Якщо площина перпендикулярна до однієї з двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої.
Доведення
Нехай а1 || а2 і a1
?. Доведемо, що?А2 (рис. 153). Точки А1 і А2 – точки перетину а1 і а2 з площиною?.
У площині? через точку А2 проведемо довільну пряму х2, а через точку А1 – пряму х1 таку, що х1 || х2. Оскільки a1 || а2, x1 || х2 і а1Х1, то за теоремою 3.1 а2Х2. Оскільки х2 вибрана довільно в площині?, то а2?.
Теорема 2.
Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї і тієї самої площини, то дані прямі паралельні.
Доведення
Нехай a?, b?. Доведемо, що а || b (рис. 154). Припустимо, що а
B. Тоді через точку С прямої b проведемо b1 , паралельну а. Оскільки а?, то і b1? за доведеною теоремою, а за умовою b?. Якщо точки А і В – точки перетину прямих b1 і b з площиною?, то з припущення випливає, що в трикутнику 
A = В = 90°, що не може бути. Отже, а || b.
1. Визначте вид чотирикутника AA1B1B якщо:
А) АА1?; АА1 || ВВ1; А
?, В?; AA1 ? ВВ1 (рис. 155);
Б) АА1?; ВВ1?; А?, В? (рис. 156);
В) А?; В?; АА1?; ВВ1?; АА1 = ВВ1 (рис. 156).
2. Задача № 12 із підручника (с. 35).
3. Задача № 13 із підручника (с. 35).
4. Задача № 16 із підручника (с. 35).
Теорема 3.
Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних площин, то вона перпендикулярна і до другої.
Нехай? || ?, а?. Доведемо, що??. (рис. 157). Нехай точки А і В – точки перетину прямої а з площинами? і?. В площині? проведемо через точку В довільну пряму b. Через пряму b і точку А проведемо площину?, яка перетинає? по прямій с, причому с || b. Оскільки а?, то аС (за означенням прямої, перпендикулярної до площини). Оскільки аС, b || с і а, b, с лежать в?, то аB. Враховуючи, що b – довільна пряма площини?, маємо а?.
Теорема 4.
Якщо дві площини, перпендикулярні до однієї і тієї самої прямої, то вони паралельні.
Нехай?А, ?А, доведемо, що? || ? (рис. 158). Нехай точки А і В – точки перетину прямої а з площинами? і?. Припустимо, що? ?. Візьмемо точку С на прямій перетину площин? і?. С
А, бо в противному випадку через точку С проходили б дві різні площини? і?, перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Проведемо площину? через точку С і пряму а, ця площина перетинає? і? по прямих АС і ВС відповідно. Оскільки а?, то аАС, аналогічно аВС. Отже, в площині? через точку С проходять дві різні прямі АС і ВС, які перпендикулярні до прямої а, що неможливо. Отже, ? || ?.
Розв’язування задач
1. Нехай ABCD – прямокутник, BSАВ, AMАВ (рис. 159). Як розташовані площини AMD і BSC?
2. В1?; АА1?, АА1?; BВ1 || АА1; АА1 = 12 cm, A1B = 13 см (рис. 160). Знайти АВ.
3. А1?; В1?, А2?, В2?, AA1?; ? || ? (рис. 161). Визначте вид трикутників AA1B1 і АА2В2
III. Домашнє завдання
§3, п. 17; контрольні запитання № 5, 6; задачі № 14, 15 (с. 35).
При підведенні підсумку уроку можна скористатися даною схемою.
Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою | ||
| Дано: А || b, A Довести: B | Дано: A B Довести: А || b. |
| Дано: ? || ?, А Довести: ? | Дано: ? ? Довести: ? || ?. |
1) Як розташовані прямі, які перпендикулярні до площини?
2) Як розташовані в просторі площини, які перпендикулярні до прямої?
3) Як розташовані пряма і площина, якщо паралельна пряма до даної прямої перпендикулярна до площини?
4) Як розташовані пряма і площина, якщо площина, паралельна до даної площини, перпендикулярна до даної прямої?
