Вправи 150-175
150.
∠1 = 90°, ∠2 = ∠1 = 90° – вертикальні кути; ∠3 – суміжний куту ∠1. ∠3 = 180° – 90° = 90°, ∠3 = ∠4 = 90° (вертикальні кути).
151.
∠(ac) = 70°; ∠(ab) = 90°; ∠(bc) = 90° – ∠(ac) = 90° – 70° = 20°.
152. а ⊥ с; ∠(ab) = 25°, ∠(ac) = 90°, ∠(bc) = 90° – ∠(ab) = 90° – 25°, ∠(bc) = 65°.
Відповідь: 65°.
153.
А) ∠AOD + ∠BOD + ∠COB = 295°; ∠AOD + ∠BOD = 180° (суміжні кути);
∠COB = 295° – 180° – 115°; ∠COA = ∠COB =
∠AOD = ∠BOC = 180° – 115° = 65°.
Відповідь: 65°, 65°, 115°, 115°.
Б) ∠AOD : ∠AOC = 4 : 5; ∠AOC і ∠AOC – суміжні кути, х – спільна міра цих кутів; ∠AOD = 4х, ∠AOC = 5х; 4х + 5х = 180°; 9х = 180°; х = 20°; ∠AOD = 80°, ∠AOC = 100°, ∠BOC = ∠AOD = 80°(вертикальні кути), ∠AOC = ∠BOD = 110° (вертикальні кути).
Відповідь: 80°, 80°, 100°, 100°.
154.
А) Ці кути – вертикальні. АОС і ∠DOB,
∠AOC = ∠DOB, ∠3 + ∠4 = ∠1 + ∠2 + 80°;
∠3 = ∠4; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4 + 40°;
∠1 + ∠3 = 180°; ∠3 – ∠1 = 40°;
2∠3 = 220°; ∠3 = 110°, ∠A = 70°.
Відповідь: 70°.
Б) 2∠3 = ∠1 + ∠4 + ∠2; ∠1
2∠3 = 180° + ∠2; ∠2 = 180° – ∠3;
2∠3 = 180° + 180° – ∠3; 3∠3∠ = 360°;
∠3 = 360°: 3; ∠3 = 120°; ∠2 = 60°.
Відповідь: 60°.
155.
∠1 = 56°, ∠2 = 39°, ∠3 = 180° – 39° – 56° = 85°, ∠4 = ∠3 = 85°.
156.
OK – бісектриса; ∠DOK = 72°, ∠DOB = 72° x 2 = 144°, ∠AOD = 180° – 144° = 36°.
Відповідь: прямі перетинаються під кутом 36°.
157.
A ⊥ c, b ⊥ c, a || d, a || d, a ⊥ c, отже, b || d.
158.
А і b перетинаються, c ⊥ a;A – точка перетину прямих а і b. Якщо b ⊥ с, то b || a, a за умовою а і b перетинаються.
159.
Нехай ∠1 = ∠2 + ∠3, ∠2 = ∠3 – вертикальні кути, ∠1 + ∠3 = 180° (суміжні кути); ∠1 = 2∠3. Нехай ∠3 = х, тоді ∠1 = 2х; х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°; ∠2 = ∠3 = 60°
Відповідь: 60°.
160.
∠DON і ∠MOK – вертикальні кути; ОС – бісектриса ∠MOK; OB – бісектриса ∠DON; ∠1 = ∠2; ∠3 = ∠4.
Промені ОС і OB мають спільний початок і лежать на одній прямій, тому є доповняльними.
161.
∠AOB = ∠COD, О – спільна вершина; ОK i ОМ – бісектриси кутів є доповняльними променями, отже, ці кути є вертикальними.
162.
A ⊥ b, ∠AOC = 165°, ∠POC = 180°- ∠АОС = 180° – 165° = 15°, ∠POD = ∠POC + ∠COD, ∠POD = 15° + 90° = 105°.
Відповідь: 105°.
163.
A ⊥ b, d ⊥ с. Серед цих прямих 2 пари перпендикулярних прямих.
164.
АО = 4 см, АС = 12 CM, CD = АО + АС + OB + BD; AO = OB = 4 см; AC = BD = 12 см; CD = 4 + 12 + 4 + 12 = 32 (см).
Відповідь: 32 см.
OA = OB = 4 см; АС = 12 см; ВD = 12 см; ОС = OD = 12 – 4 = 8 см; AD = OD – OA = 8 – 4 = 4 (см); CD = CA + AD = 12 + 4 = 16 (см).
Відповідь: CD = 16 см.
165.
L – спільна бісектриса кутів ∠(ab) і ∠(cd). ∠(ab) = 50°, ∠(dl) = 10°; ∠(cb) = ∠(cl) + ∠(ld) + (db) = 10° + 10° + 25° = 45°.
Задачі для підготовки для контрольної роботи № 1
1.
АС = 5 см, AB = 8 см.
А) Точка С лежить між точками А і В.
Б) ВС = 8 – 5 = 3 (см).
2.
∠MOL = 84°, ∠LON = 18°. ОК – бісектриса ∠MON.
∠MON = ∠MOL + ∠LON = 84° + 18° = 102°; ∠MOK = ∠KON = 102° : 2 = 51°; ∠KOL = ∠KON – ∠LON = 51° – 18° = 33°.
Відповідь: 33°.
3.
A і b перетинаються, c || a.
Нехай b || c, тоді через точку А проведено дві прямі а і b, паралельні прямій с, що неможливо. Отже, b і с перетинаються.
4.
∠AOC – ∠COB = ∠COB; ∠AOC = 2∠COB; ∠COB = х, ∠AOC = 2х; х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 180° : 3; х = 60°; ∠COB = 60°, ∠AOC = 120°.
5.
∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + 60°; ∠2 + ∠3 = 180°; ∠1 + 180° = ∠4 + 60°; ∠4 – ∠1 = 180° – 60°; ∠4 – ∠1 = 120°; ∠4 + ∠1 = 180°; 2∠4 = 300°; ∠4 = 150°; ∠1 = 180° – 150° = 30°.
Відповідь: 30°.
6.
∠AOВ і ∠COB – суміжні, ∠DOC = 126°; ∠AOD = 180° – 126° = 54°; ∠AOD = ∠DOB = 108° – 54° = 54°.
Додаткові вправи
166.
AD + BD = CD. AB : BC = 2 : 1, AС = 3 см, AB = 2х; ВС = х; 3х = 3; x = 1; ВС = 1 см, AB = 2 CM; AD = ВС = 1 см.
167.
С – середина AB; А переміститься на З одиниці, а точка В – на 7 одиниць, точка С переміститься на 5 одиниць.
168. Тричі відкласти по 2 см.
169.
1) ∠AOB = 35° х 4 = 140°; б) ∠BOC = 40°.
170.
∠AOB = 17° х 10 = 170°;
∠BOC = 180° – 170° = 10°.
∠COD = ∠BOD – ∠BOC;
∠COD = 17° – 10° = 7°.
171. 27° х 10 – 180° = 270° – 180° = 90°.
172. ∠(ab), ∠(bc), ∠(cd), ∠(ad), ∠(ac), ∠(bd).
Відповідь: 6 кутів.
173.
OK – бісектриса кута ∠(bc);
∠(ab) = ∠(bc) = ∠(cd).
∠(ak) = ∠(ab) + ∠1; ∠(dk) = ∠(dc) + ∠2, але ∠2 = ∠1, ∠(ab) = ∠(dc) за умовою, отже, OK – бісектриса ∠(ad) і ∠(bc).
174.
∠AOB, ОС – бісектриса кута; ∠AOC = ∠COB; M лежить поза внутрішньою областю кута АОВ. Промінь ОС – бісектриса цього кута. Нехай ∠AOC = ∠1, ∠COB = ∠2, ∠1 = ∠2, ∠MOA = ∠3, ∠MOC = ∠1 + ∠3; ∠AOM + ∠BOM = ∠3 + ∠3 + ∠1 + ∠2 = 2∠1 + 2∠3 = 2(∠1 + ∠3);
∠MOC = 1/2(∠AOM + ∠BOM), що й треба було довести.
175.
∠AOB, ОС – бісектриса кута. ∠AOC = ∠BOC; ∠AOC = ∠1, ∠BOC = ∠2.
Точка М лежить у внутрішній області ∠AOB.
Що й треба було довести.