Перпендикулярність прямих у просторі
Урок 25
Тема. Перпендикулярність прямих у просторі
Мета уроку: формування поняття про перпендикулярні прямі. Вивчення теореми про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим.
Обладнання: стереометричний набір.
Хід уроку
В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення та виконання домашнього завдання.
III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Означення перпендикулярних прямих у просторі
Поряд із відношенням паралельності в геометрії важливе значення має відношення
У стереометрії розглядають три випадки перпендикулярності: перпендикулярність прямих, перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин. На наступних уроках ми займемося послідовним вивченням цих трьох відношень. Почнемо з випадку перпендикулярності прямих у просторі.
Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом.
Розв’язування задач
1. Назвіть в оточенні моделі прямих,
2. Дано зображення куба АBСDA1B1C1D1. Укажіть ребра куба, які перпендикулярні до прямої АА1.
3. Задача № 3 (1, 4) із підручника (с. 34).
Теорема про прямі, що перетинаються і паралельні двом перпендикулярним прямим
Питання до класу: що можна стверджувати про взаємне розташування прямих а1 і b1, які перетинаються і а1 || а, b1 || b, а b? Учні висувають гіпотезу, що a1 B1. Для ілюстрації цього твердження використовується каркасна модель куба або прямокутного паралелепіпеда.
Далі формулюємо теорему:
Якщо дві прямі, які перетинаються, паралельні відповідно двом перпендикулярним прямим, то вони теж перпендикулярні.
Доведення цієї теореми проводить учитель. Подаємо запис доведення теореми, який рекомендується зробити на дошці і в зошитах учнів.
Дано: aB, а?, b?; а1||а, b1||b, а1?1, b1?1, а1 і b, перетинаються (рис. 131).
Довести: а1 b1
Номер п/п | Твердження | Аргумент |
1 | А і b лежать в?, а1 і b1 лежать в?1 | Сз |
2 | А || а1 | Теорема 2.4 |
3 | Нехай точка С – точка перетину а і b, точка С1 – точка перетину а1 і b1 | Означення |
4 | AA1 || СС1, ВВ1 || CC1 | Теорема 2.1 |
5 | A1A2 || BB1 | Теорема 2.2 |
6 | CAA1C1 і CBB1C1 – паралелограми, отже, AC = А1С1, BC = B1C1 | AC||A1C1;AA1 || CC1, СВ || С1В1, ВВ1 || СС1 |
7 | АВB1А1 – паралелограм, отже, АВ = А1B1 | АВ||А1B1, AA1 || ВВ1 |
8 | ?АВС =?А1В1С1, отже, | Третя ознака рівності трикутників |
Розв’язування задач
1. SABC – тетраедр; ABC = 90°; точки К, L, М – середини ребер SB, SA, SC відповідно (рис. 132). Знайти MKL.
2. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 133). Точки М, N, Р, К – точки перетину діагоналей граней АВВ1А1, CDD1C1, А1B1С1D1 і ABCD відповідно. Довести, що MNРК.
3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Через точку М, що належить ребру АА1 в грані AA1DD1, проведіть пряму MN так, щоб MOD1 = 90°, де точка О – точка перетину прямих MN і AD1.
Розв’язання
Проведемо в квадраті A1ADD1 діагоналі AD1 і A1D (AD1A1D) (рис. 134). Через точку М ребра АА1 в грані АDD1А1 проведемо пряму MN || А1D. За теоремою 3.1 MNAD1, оскільки A1OD1 = 90°.
4. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Через точку О грані А1АDD1 проведіть прямі ОМ і ON так, щоб ОМ || ВС, ON || СС1. Доведіть, що MON = 90° .
5. Через точку О перетину діагоналей куба ABCDA1B1C1D1 проведіть площину?, паралельну основі А1B1С1D1 куба. Доведіть, що MON = 90°, де точки М, N – точки перетину ребер СС1 і BВ1 з площиною?.
IV. Домашнє завдання
§3, п. 14; контрольні запитання № 1, 2; задача № 3 (2; 3) (с. 34).
V. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1) Які прямі в просторі називаються перпендикулярними?
2) Чи визначають площину дві перпендикулярні прямі? Чому?
3) Сформулюйте теорему про прямі, які перетинаються і відповідно паралельні перпендикулярним прямим.
4) Сторони двох трикутників відповідно паралельні. Чи паралельні відповідні висоти цих трикутників?
5) Ребро куба дорівнює а. Знайдіть довжину діагоналі грані куба. (Відповідь. а)
6) Довжина діагоналі грані куба дорівнює а. Знайдіть ребро куба. (Відповідь. )