Об’єм кулі та її частин
1338.
А) Нехай ABCDA1В1C1D1 – куб.
Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а, 
Отже, об’єм кулі 
Б) Оскільки діагональ куба дорівнює двом радіусам кулі, то знайдемо діагональ
З ΔB1BD: 
Отже, радіус, кулі 
Об’єм кулі V дорівнює: 
Відповідь: а) 
б) 
1339.
Нехай SA – твірна конуса. ∠SAO = α.
З ΔSAO: AO = SA × cos α = l cos α.
(оскільки
З ΔAO1O: 
Отже, об’єм кулі V дорівнює: 
Відповідь: 
1340.
Нехай г – радіус кулі, вписаної в циліндр, тоді H – висота циліндра, H = 2г.
Отже, об’єм кулі 
об’єм циліндра V2 = πr2H = πr2× 2г = 2πr2.
Твердження доведено.
1341.
Нехай ОО1 = KL = 2г. Об’єм циліндра V1 = πr2× 2г = 2πг3.
Об’єм шара 
Отже, при виготовленні кулі сточено 
Матеріалу.
Відповідь:
1342.
Нехай ABCD – квадрат – осьовий переріз циліндра,
AB = BC = CD = DА = 10 см. Радіус циліндра 
Vциліндра = π ×AE2× AB = π × 25 × 10 = 250π (см3).
Об’єм кулі 
750π = 4πг2,
Відповідь:
1343.
V1- об’єм свинцевої кулі, 
V – об’єм циліндричного знака V2 = π × г2 × 3 = 3πг2.
Відповідь: 
1344.
Нехай SAB – осьовий переріз конуса, який вписано в шар з центом О,
AS = SB = l, ∠SAB = α.
З ΔSAB за теоремою синусів маємо: 
Або 
звідси 
Отже, об’єм кулі 
Відповідь: 
1345.
Куля розтинається гранями двогранного кута на дві частини: одна – четверта частина кулі, друга – три чверті кулі.
Відповідь: 
πг3.
1346.
Нехай AO + OB, OB + ОС, ОС + AO.
Об’єм частини кулі, обмеженої площинами АОB, BOC, COA
Дорівнює 
об’єму кулі, отже, 
Відповідь: 
1347.
Нехай АВ – діаметр кулі, 
Об’єм кулі 
Площинами куля розбилася на два кульові сегменти і кульовий пояс.
Знайдемо V1 – об’єм сегмента:
Об’єм кульового поясу:
Відповідь: 
1348.
Нехай AO1 : O1B = 1 : 3, OA = OB = 12 см, AO1 = х; O1B = 3х, тоді х + 3х = 24;
4х = 24; х = 6. Отже, AO1 = 6 см, O1B = 18 см.
V1 – об’єм першого кульового сегмента;
Відповідь: 360π см3; 1944π см3.
1349.
Нехай OA = 17 см, S1 = 225π см 2, S2 = 264π см 2.
S1 = π × Ο,Α2; 225π = π × Ο1Α2; 
O1A = 15 (см).
S2 = π × O2B2; 264π = π × O2Β2; 
3 ΔO1AO: 
З ΔOBO2: 
Знайдемо висоту першого сегмента: CO1 = CO – O1O = 17 – 8 = 9 (см)
І другого DO2 = OD – OO2= 17 – 5 = 12 (см).
Об’єм першого сегмента:
Об’єм другого сегмента:
Об’єм кулі. 
Об’єм кульового шару:
Відповідь: 
1350.
При обертанні півкруга, розбитого на три частики, навколо діаметра утворяться два однакові кульові сектори і кульовий пояс, з якого витягнуто два конуси.
Об’єм кульового сектора 
З ΔCOK: ∠COK = 60°; 
KD = OD – OK = 9 – 4,5 = 4,5 (см).
Отже, 
Об’єм кулі: 
Тоді об’єм кульового поясу без двох конусів:
V2 = V – 2V1 = 972 – 2 × 243 = 486 (см3).
Відповідь: 243 см3; 486 см3.
1351.
Маса тіла обчислюється за формулою: m = р × V, де ρ- густина свинцю, V – об’єм тіла.
Знайдемо об’єм шматка свинцю: 1 = 11,4 × V, звідси 
Знайдемо об’єм кульки: 
Отже, зі шматка свинцю масою 1 кг відлили 
Відповідь: ≈ 778 кульок.
1352.
Нехай радіус першого кавуна г, а другого – 2г.
Тоді об’єм першого кавуна 
Другого – 
Густина кавунів однакова і дорівнює ρ,
Тоді 
Отже, один кавун у 8 разів важчий за другий.
Відповідь: у 8 разів.
1353.
Знайдемо об’єм півкулі: 
Знайдемо об’єм конуса: 
Отже, об’єм півкулі у 2 рази більший від об’єму конуса,
Результат експерименту відповідає теорії.
Відповідь: так.
1354.
Знайдемо об’єм чавунної кулі: 
Нехай г – внутрішній діаметр кулі, тоді 
Отже, об’єм порожнистої кулі
4,71 ≈ 0,0073 × 4π(125 – г3);
0,092г3 ≈ 6,751; г3 ≈ 73,38; г ≈ 4,2.
Відповідь: ≈ 4,2.
1355.
Об’єм космічного апарата 
Для того, щоб космічний апарат не тонув у воді, треба щоб його маса була менша ніж 4,18 т.
Відповідь: менша ніж 4,18 т.
1356.
Знайдемо масу краплі мильного розчину діаметром 6 мм: 
Знайдемо зовнішній об’єм видутої кулі:
Знайдемо внутрішній об’єм видутої кулі: 
Тоді маса видутої кулі буде
Оскільки маса кулі не змінилася, то маємо:
27 ≈ 3 375 000 – г3 ≈ 3 374 974; г ≈ 149,9999.
Отже, товщина плівки бульки: 150,0000 – 149,9999 ≈ 0,0001 (нм).
Відповідь: 0,0001 нм.
1357.
Оскільки густина води 1 кг/дм3, то для того, щоб куля занурилася в воду тільки на половину, вона мати густину матеріалу 0,5 кг/дм3.
Відповідь: 0,5 кг/дм3.
1358.
Нехай R – радіус кулі, OO1 = Н. Тоді висота одного сегмента R – Н,
Другого R + Н. Отже, маємо:
Додамо до першого рівняння друге, отримаємо: 4R3 = 2916; R3 = 729; г = 9, звідси H = 3.
Отже, O1B = R + H = 9 + 3 = 12 (см).
Відповідь: 12 см.
1359.
Нехай SABC – правильний тетраедр, в який вписано кулю з центром в точці О. SO1+ (ABC).
З ΔАВС: 
З ΔSO1B: 
З ΔASD: 
Враховуючи, що
Отримаємо: 
Оскільки ΔSDO – ΔSOK, то
Отже, об’єм кулі
Відповідь: 
1360.
Нехай MABCDN – октаедр, KO = OL = г кулі. 
Отже, об’єм кулі 
Відповідь: 
1361.
Нехай SABCD – задана піраміда, AB = BC = CD = DA = a,
Vsabcd = V, ∠SAO = α.
Позначимо радіус кулі г, висоту SO = Н.
З ΔABD: 
З ΔBSO: 
SK = 2r; SO + OK = 2г; OK = 2г = H.
ΔSCK – прямокутний. CO + SK,
За властивістю перпендикуляра маємо: CO2 = SO × OK.
Отримаємо систему: 
Піднесемо перше рівняння до квадрата і підставимо в друге.
H2 ctg2α = H(2 г – H); H ctg2 α = 2г – H; 2 г = H ctg2α + H;
Отже, об’єм V кулі дорівнює:
Відповідь: 
1362.
Нехай SABC – задана піраміда, ∠CSA = α
SO = H, AB = BC = CA = а, SO1 = O1A = R.
З ΔSOK: SK2 = SO2 + KO2, 
З ΔAO1O: 
Отже, об’єм кулі V дорівнює:
Відповідь: 
1363.
Нехай ABCDEFA1B1C1D1E1F1- правильна зрізана піраміда.
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1 = 3 см,
AB = BC = CD = DE = EF = FA = 4 см,
O1O2 = = 7 см, O1O = х, OA = R = ОВ.
Оскільки в основах зрізаної піраміди лежать правильні шестикутники,
То О, А = 3 см, O2B = 4 см.
З ΔO1AO: OA2 = O1O2 + O1A2, г2 = x2 + 9.
З ΔO2ΒΟ: OB2 = OO22 + O2B2; г2 = (7 – x)2 + 16.
Отримуємо систему:
x2 + 9 = 49 -14х + x2 + 16; 14x = 56; х = 4. Отже, O1O = 4 (см),
Об’єм кулі, описаної навколо правильної шестикутної піраміди,
Відповідь: 
1364.
Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда,
OF + SB, 
SO = R.
З ΔSOF: 
ΔSOF – ΔSO1В (∠O1SB – спільний). 
R2- BO21 = 12R2 – 36; 
З ΔBKO1: 
З ΔОВК: OK2 = OB2 + BK2; 
R4= 6R2 – 18 + 5R2; R4 – 11R2 + 18 – 0; R2 = 2,
R2 = 9, R = 3.
Отже, об’єм кулі V дорівнює:
або 
Відповідь: 
або 36π м3.
1365.
Нехай SABCD – правильна чотирикутна піраміда, в яку вписано кулю з центром в точці O1. SSCD = = SABCD, AB = BC = CD = DA = а.
ASCD – рівнобедрений, SL + DC.
SABD =AD × DC = а2; 
З ΔSOL: 
(як дотичні, проведені з однієї точки до кулі);
ΔSOL – ΔSO1P. З подібності трикутників маємо:
звідси 
Об’єм кулі V1 дорівнює 
Об’єм піраміди V2дорівнює: 
Відповідь: 
1366.
Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса, в який вписано кулю з центром в точці О, AK = у, DL = x. AK = AM = у (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). DL = DM = х (як відрізки дотичних, проведені з однієї точки до кола). ΔAOD – прямокутний, OM + AD. За властивістю висоти, проведеної з прямого кута MO2 = AM × MD = y × х. DN = DL = NL = х – у.
З ΔADN: 
За умовою 
(1 + cos φ)2+ 1 – cos2φ + (1 – cos2φ) = 2m(1 – cos2φ);
1 + 2 cos φ + cos2 φ + 1 – cos2φ + 1 – 2 cos φ + cos2φ = 2m(1 – cos2φ);
3 + cos2φ = 2m – 2m cos2φ; cos2φ(1 + 2m) = 2m -3.
Відповідь: 
1367.
Нехай ABCD – осьовий переріз зрізаного конуса., в який вписано кулю радіуса R, BK = х, AL = у. BK = х, AL = у.
Нехай V1- об’єм зрізаного конуса, V2 – об’єм кулі.
З ΔABD: 
Нехай 
тоді 
1 – t = = (1 + t) × cos φ;
1 – cos φ = (1 + cos φ) × t; 
1 – 2 cos φ + cos2φ + 1 – cos2φ + 1 + 2 cos φ + cos2φ = 2k – 2k cos2φ;
3 + cos2φ = 2k – 2k cos2φ; cos2φ(1 + 2k) = 2k – 3;
Отже, 
Відповідь:
1368.
Нехай H – висота частини кулі, яка виступає над водою,
Тоді 
90πH2 – 5πH3 = 1296р; 5H2 – 90H2 + 1296 = 0,
Розв’язавши це рівняння, отримаємо H ≈ 4дм.
Відповідь: ≈ 4 дм.
1369.
Нехай ребро куба дорівнює а. Якщо шар дотикається двох прямих, що перетинаються, то центр його лежить на площині, яка перпендикулярна до площини цих прямих і проходить через їх бісектрису. Звідси зрозуміло, що центр кулі лежить в центрі куба.
Цей куб виступає з куба шістьома сегментами, кола основи яких вписані в квадрати граней куба.
Звідси маємо радіус кулі 
висота сегмента 
радіус
Кола основи сегмента 
Отже, об’єм сегменту:
Отже, об’єм спільний кулі і куба, дорівнює:
Об’єм куба 
Відповідь: 
1370.
Нехай ABCDA1B1C1D1- куб. Розглянемо переріз куба, який проходить через точки O1, E, F. Нехай сторона куба дорівнює а, радіус кулі R, тоді O1O2 = а,
ОО2 = а – R.
3 ΔOFO: OF2 = OO2 + O2F2; 
4R2 = 4а2 – 8аR + 4R2 + а2; 8аR = 5а2;
Відповідь: 384 : 125π.
