Рух точки по колу – КІНЕМАТИКА

ФІЗИКА

Частина 1 МЕХАНІКА

Розділ 1 КІНЕМАТИКА

1.4. Рух точки по колу

Рух матеріальної точки по колу є окремим випадком криволінійного руху. Розглядаючи такі величини, як швидкість Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, прискорення Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, радіус-вектор Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, питання про вибір їхнього напряму не виникало, оскільки воно випливало з їхньої природи. Подібні вектори називають полярними. Вектори типу dφ, напрям яких пов’язаний із напрямом обертання, називають аксіальними. У цьому разі кут можна розглядати як вектор. Для дуже малих кутів повороту Δφ, оскільки шлях, що проходить матеріальна точка при такому малому повороті, можна розглядати як прямолінійний.

Величину

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Де Δt – час, за який здійснюється поворот на кут Δφ, називають кутовою швидкістю точки. Вектор Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА напрямлений уздовж осі, навколо якої обертається тіло. Напрям обертання визначається за правилом правого гвинта. Кутова швидкість – це аксіальний вектор. Модуль вектора кутової швидкості дорівнює Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА Обертання зі сталою кутовою швидкістю називають рівномірним, при цьому ω = φ/t. Отже, при рівномірному обертанні ω показує, на який кут повертається тіло за одиницю часу.

Рівномірний рух можна характеризувати періодом Т. Це час, протягом якого тіло робить один оберт, тобто повертається на кут 2π. Оскільки проміжку часу Δt = Т відповідає кут Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА то

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Частота періодичного процесу

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Тоді

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Вектор Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА може змінюватись як унаслідок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (у цьому разі він змінюється за довжиною), так і за рахунок повороту осі обертання в просторі (у цьому разі Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА змінюється за напрямом). Нехай за час Δt вектор й дістав приріст ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА. Зміну вектора кутової швидкості з часом характеризують кутовим прискоренням

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Вектор Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, як і Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, є аксіальним. Якщо напрям осі обертання в просторі залишається сталим, то кутова швидкість змінюється лише за числовим значенням і |ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА| = Δω. У цьому разі з формули (1.17) дістанемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Вираз (1.18) запишемо у векторній формі

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Де β – алгебраїчна величина, яка додатна, якщо ω з часом збільшується (у цьому разі вектори (Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА та Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА мають однаковий напрям), і від’ємна, якщо й зменшується (у цьому разі напрями Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА та Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА протилежні).

Лінійна швидкість υ визначається кутовою швидкістю обертання тіла ω та відстанню r матеріальної точки від осі обертання. Нехай за малий проміжок часу Δt тіло повертається на кут Δφ. Точка, яка розміщується на відстані r від осі, проходить при цьому шлях

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Лінійна швидкість точки

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

У векторній формі Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА = . Отже, чим далі розміщується точка від осі обертання, тим з більшою лінійною швидкістю вона рухається.

Знайдемо зв’язок модулів лінійного та кутового прискорення, покладаючи, що r = const. Тоді, виходячи з (1.18), запишемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Отже,

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

При рівномірному русі точки по колу модуль швидкості залишається сталим, але напрям її безперервно змінюється. Розглянемо два вектори швидкості тіла через невеликий проміжок часу Δt. Віднімаючи перше значення швидкості Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА1 від наступного Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА2, дістанемо приріст ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА (рис. 1.3). За загальним правилом дії над векторами можна перенести початок векторів швидкості в одну точку (паралельне перенесення). Напрям цих векторів збігається з напрямом дотичної до кола в тій точці, де лежить точка у певний момент. Вектор ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА не буде перпендикулярним ні до Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА1, ні до Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА2. Проте при Δt -> 0 і ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА -> 0 напрям вектора ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА стає перпендикулярним до вектора швидкості Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА.

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Рис. 1.3.

Отже, нескінченно малий приріст вектора dРух точки по колу   КІНЕМАТИКА перпендикулярний до вектора Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, тому прискорення Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА перпендикулярне до швидкості й напрямлене до центра кола. Значення прискорення можна пов’язати зі значенням швидкості Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА руху тіла по колу й значенням радіуса r. При малому Δφ

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Де Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА‘ – одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора ΔРух точки по колу   КІНЕМАТИКА. Підставляючи в (1.23) Δφ із (1.20), дістанемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Розділивши на Δt праву і ліву частини (1.24) і зробивши відповідні перетворення, дістанемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

У цьому виразі υ та r – сталі, відношення Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА у граничному випадку дає модуль швидкості υ; одиничний вектор Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА‘ у граничному випадку збігається з одиничним вектором Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА, який перпендикулярний до кола в точці А і напрямлений до центра. Отже,

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Знайдене прискорення напрямлене вздовж нормалі до траєкторії, тобто воно є нормальним.

Якщо матеріальна точка рухається по колу нерівномірно, то крім нормального (його у разі руху по колу називають ще доцентровим) вона матиме тангенціальне прискорення

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Яке характеризує зміну швидкості за числовим значенням. Ураховуючи вираз (1.21), для тангенціального прискорення дістанемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Отже, тангенціальне прискорення зростає лінійно зі збільшенням відстані від осі обертання. Остаточно для вектора прискорення (рис. 1.4) запишемо

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Рух точки по колу   КІНЕМАТИКА

Рис. 1.4


Рух точки по колу – КІНЕМАТИКА - Довідник с фізики