Властивості прямокутного трикутника
§ 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника
§ 17. Властивості прямокутного трикутника
457. Найбільший катет трикутника дорівнює 24 см.
458. ?DEF – прямокутний, ∠F = 90°, ∠D = 30°, DE = 18 см.
Відповідь: 9 см.
459. ?KCM – прямокутний, ∠M = 90°, ∠C = 60°, MC = 7 см.
∠MKC = 90° – 60° = 30°. KC = 2 x MC = 2 x 7 CM = 14 CM.
Відповідь: 14 CM.
460. AB = BC = AC = 16 CM. AD = DB. DE ⊥ AC. 
∠ADE = 90° – ∠A = 90° – 60° = 30°.
Відповідь: 4 CM, 12 CM.
461. ?ABC – прямокутний, ∠A = 90°, ∠C = 30°.
Нехай AB = x см, тоді ВС = (x + 5) см. 2x = x + 5; x = 5. Отже, AB = 5 см, ВС = 10 см.
Відповідь: 5 см, 10 см.
462. Нехай в? АВС ∠A = 30°, ∠B = 45°, CK ⊥ AB, АС = 10 см. Із прямокутного? АСК: 
Із? СКВ: ∠KCB = 45°. Отже, ?СВК – рівнобедрений і ВК = СК = 5 см.
Відповідь: 5 см.
463. ∠A = 30°, CD ⊥ AB, BD = 7 см. ∠B = 90° -30° = 60°.
Із прямокутного? BDC: ∠BCD = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°, ВС = 2BD = 2 x 7 = 14 (см).
Із прямокутного? АВС: ВА = 2 х ВС = 2 х 14 = 28 (см).
Відповідь: 28 см.
464.
Із прямокутного? АСК: СК = 1/2АС. Отже, ∠A = 30°.
Із? АВС: ∠B = 90° – ∠A = 90° – 30° = 60°.
Відповідь: 60°.
465. АВ < ас, тому ав = 1 см, ab = 1/2ас, отже, ∠acb = 30°.
Відповідь: 30°.
466. ?АВС – рівнобедрений (AB = ВС), ∠B = 120°, АС = 18 см.
CE ⊥ AB.
З прямокутного трикутника AEC: ∠A = 30°, 
Відповідь: 9 см.
467. ВМ = 7,5 см, ∠MBC= 15°.
∠C = 90° – ∠MBC = 90° – 15° = 75°. ∠A = 180° – 2∠C = 180° – 150° = 30°.
З? АВМ: AB – 2 х ВМ = 2 х 7,5 = 15 (см). Отже, AB = АС = 15 см.
Відповідь: 15 см.
468. АВ = ВС = АС.
Бісектриса ВК є висотою, тому? АОК – прямокутний; ∠OAK = 30°, отже, ОА = 2OK. ?АОК = ?ВОМ (за катетом і прилеглим кутом, оскільки 
∠OAE = ∠OBM = 30°), тому ОМ = ОК. Отже, АO = 2OМ, АO : OМ = 2 : 1.
469. МК ⊥ АВ, МК – серединний перпендикуляр, ∠B = 30°.
AM = MB, оскільки МК – серединний перпендикуляр, AK = KB, ∠KAB = ∠ABK = 30°.
З? КМВ: МК = 1/2КВ.
З? АСК: 
Тоді 
Звідси КВ = 2/3СВ.
Отже, 
470. ?КМЕ – прямокутний, ∠E = 30°, КЕ = 12 см.
∠M = 90° – ∠E = 90° – 30° = 60°. MC – бісектриса, ∠KMC = ∠CME = 60° : 2 = 30°. Отже, ?MCE – рівнобедрений.
Нехай MC = х см, тоді СЕ = х. З? КМС: ∠KMC = 30°, 
тоді KЕ = ЕС + СЕ, 12 = x/2 + х; 24 = 3х; x = 24 : 3; х = 8. Отже, MC = 8 см.
Відповідь: 8 см.
471. ∠BAC = 60°, AD – бісектриса. ∠BAD = ∠CAD = 60° : 2 = 30°. ∠B = 90° – 60° = 30°. ?BDA – рівнобедрений, BD = AD.
Нехай CD = x CM, тоді BD = (x + 3) CM, DA = (x + 3) см.
З? CDA: CD = 1/2DA; X = 1/2(X + 3); 2X = x + 3; x = 3. Отже, CD = 3 см, AD = 3 + 3 = 6 (см).
Відповідь: 6 CM.
Вправи для повторення
472. ?ЕАК = ?FMC (за стороною і двома прилеглими кутами: АК = МС, оскільки AM = КС, МК – спільний відрізок; ∠A = ∠C, ∠AKE = ∠FMC). Із рівності цих трикутників маємо: ЕА = FC. Тоді BF = ВС – FC; ЕВ = АВ – ЕА, тобто BF = BE. Отже, ?FBE – рівнобедрений.
474. ∠BCA = ∠ACD, оскільки СА – бісектриса кута BCD.
∠BCA = ∠CAD, як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ВС і AD і січній СА. Тоді? CAD – рівнобедрений і CD = 9 см.
Р? CAD = АС + CD + AD = 8 см + 9 см + 9 см = 26 см.
Відповідь: 26 см.
Завдання № 3 “Перевірте себе” в тестовій формі
1. Правильним є твердження “Якщо дві прямі не мають спільних точок, то вони паралельні”.
Правильна відповідь Г.
2. Правильним є твердження В.
3. Неправильним є твердження В.
4. а і b паралельні на рисунку А, оскільки сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°.
5. Неправильним є твердження А.
6. Трикутник має 6 зовнішніх кутів.
Правильна відповідь Б.
7. Суми зовнішніх кутів трикутника, узятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360°.
Правильна відповідь В.
8. Правильною є рівність ∠AOC = 90° + 1/2∠B.
Правильна відповідь В.
9. Правильною є рівність ∠AOC = 180° – ∠B.
Правильна відповідь Б.
10. Правильним є твердження В.
11. Неправильним є твердження СВ = 1/2AС.
Правильна відповідь В.
Практичні завдання
476.
477.
478.
479.
Вправи
480. Радіуси: BA, ВМ, ВК; хорди: МК, МР; діаметр: МК. Радіусів – 3, хорд – 2.
481. AB = CD.
?ОАВ = ?ОDC (за третьою ознакою рівності трикутників, оскільки OB = ОС, ОА = OD – як радіуси кола, AB = CD за умовою), тоді ∠АОВ = ∠COD.
482. ?ОМК = ?OCD (за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ОМ = ОС, OK = OD – як радіуси кола, ∠COD = ∠МОК за умовою). Із рівності трикутників випливає, що CD = МК.
483. AB, CD – діаметр кола.
?АОС = ?DOB (за першою ознакою рівності трикутників, оскільки ОА = OD = ОС = OB – як радіуси кола, ∠АОС = ∠DOB – як вертикальні кути). Із рівності трикутників випливає, що ∠ОАС =∠ODB, тобто ∠ВАС = ∠CDB.
484. МК= 12 см, МЕ = 10 см.
?FOK = ?МОЕ (за першою ознакою рівності трикутників: OK = ОМ, OF = OE, ∠FOK = ∠МОЕ – як вертикальні кути). Із рівності трикутників випливає, що FK = ME = 10 см. 
P? FOK = FO + OK + FK = 6 см + 6 см + 10 см = 22 см.
Відповідь: 22 CM.
485. AO = BO, тому? OAB – рівнобедрений, ∠В = ∠А = 26°. ∠ВОС – зовнішній кут? АОВ, ∠ВОС = ∠А + ∠В = 26° + 26° = 62°.
Відповідь: 52°.
486. ОМ = ОР, тому? МОР – рівнобедрений, ∠М = ∠Р. ∠РОК-зовнішній кут? MОР, ∠М + ∠Р = ∠РОК, 2∠Р = ∠РОК, 2∠Р = 84°, ∠Р = 42°.
Відповідь: 42°.
487. АС = ОА. Оскільки ОА = ОС = АС, то? ОАС – рівносторонній, тому ∠ВАС = ∠АОС – ∠ОСА = 60°.
Відповідь: 60°.
488. ∠СОЕ = 90°. ?COE = ?EOD (за двома катетами: CO = OD – як радіуси кола, ЕО – спільна сторона), тому СЕ = DE.
489. Нехай r – радіус кола, тоді діаметр 2r = r + 4, r = 4 (см), 2r = 8 см.
Відповідь: 8 см.
490. ?СОА = ?BOD (за першою ознакою трикутників: OC = OD, OB = ОА – як радіуси кола, ∠СОА = ∠BOD), тому ∠АСО = ∠ODB. Кути АСО і ODB внутрішні різносторонні кути при прямих АС і BDі січній CD, і вони рівні. Отже. АС || BD.
491. АК = 4 см, KB = 10 CM, ∠DKO = 30°. З? KMO: MO = 1/2OK.
Відповідь: 1,5 CM.
492. ∠ECM = ∠MDF = 90° – 60° = 30°. Тому CM = 2ME; MD = 2MF; CD = CM + MD = 2(ME + MF) = 2(18 + 12) = 60 (см).
Відповідь: 60 см.
493. Геометричним місцем центрів кіл даного радіуса, які проходять через дану точку А, є коло даного радіуса з центром в точці А.
494. Геометричним місцем центрів кіл, які проходять через дві дані точки А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB.
495. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох прямих, що перетинаються, є дві перпендикулярні прямі, які проходять через точку перетину цих прямих і є бісектрисами кутів, що утворилися при перетині даних прямих.
496. Геометричним місцем вершин рівнобедрених трикутників, що мають спільну основу AB, є серединний перпендикуляр до відрізка АВ, за винятком точки, яка є серединою основи AB.
497. Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, яка паралельна даним прямим і проходить через середину відрізка, перпендикулярного даним прямим і з кінцями на даних прямих.
498. Геометричним місцем точок, віддалених від даної прямої а на відстані m є дві прямі (які лежать по різні боки від прямої а), які паралельні прямій а і знаходяться від прямої а на відстані m.
499. Нехай ∠A = ∠AMO = α (оскільки? АОМ – рівнобедрений). ∠MOB – зовнішній кут? АОМ, ∠MOB = 2α.
(оскільки трикутник МОВ – рівнобедрений). ∠AMB = ∠AMO + ∠OMB = α + (90° – α) = α + 90° – α = 90°.
500. Геометричним місцем точок X таких, що АХ > ВХ, є усі точки півплощини, якій належить точка В і межею якої є серединний перпендикуляр відрізка АВ, за винятком межі цієї півплощини.
501. Геометричним місцем точок X таких, що АХ > AB, є усі точки площини, що не належать кругу із центром А і радіусом AB.
Вправи для повторення
502. ?АЕС = ?АDС (за другою ознакою: АС – спільна сторона, ∠А = ∠С, ∠ЕСА = ∠DAC – як половини рівних сторін), тому АЕ = DC. Оскільки АЕ = DC, то ED || АС. ∠EDA = ∠DAC – як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих ED і АС і січній АО. Отже, ?AED – рівнобедрений, АЕ = ED.
503. ОС = ОВ = ОА, ∠АОВ = 80°, ∠СОВ = 110°, ∠АОС = 170°.
?СОВ – рівнобедрений, 
?AОВ – рівнобедрений, 
?АОС – рівнобедрений, 
∠С = ∠ОСА + ∠ОСВ = 5° + 35° = 40°;
∠B = ∠ОВС + ∠ОВА = 35° + 50° = 85°;
∠А = ∠ОАС + ∠ОАВ = 5° + 50° = 55°.
Відповідь: 40°, 55°, 85°.
504. Нехай ∠АМК = ∠КМС = α (оскільки МК – бісектриса кута АМС). ∠ВМС – суміжний з ∠АМС, ∠ВМС = 180° – 2α.
?ВМС – рівнобедрений, оскільки ВМ = СМ. 
Отже, ∠KMC = ∠МСВ.
Кути КМС і МСВ – внутрішні різносторонні кути при прямих МК і ВС і січній MC і вони рівні, отже, МК || ВС.
505. Нехай ABC – даний трикутник, ∠BCD = 160°, AK ⊥ BC, BM ⊥ АС. ∠ВСМ = 180° – ∠BCD = 180° – 160° = 20°.
З? АKС: ∠KАС = 90° – ∠С = 90° – 20о = 70°.
З? АОМ: ∠АОМ = 90° – ∠ОАМ = 90° – 70° = 20°.
Відповідь: 20°.
Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте
506. 3х – 8 = 2х – 1; х = 7. Отже, сторона найбільшого квадрата дорівнює 7.
