Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині
Урок 21
Тема. Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині
Мета уроку: формування знань про паралельне проектування. Вивчення властивостей паралельного проектування. Дати уявлення про зображення просторових фігур на площині.
Обладнання: стереометричний набір.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
1. Відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні домашньої задачі.
2. Самостійна робота.
Варіант 1
1) Точка О лежить між паралельними площинами? і?.
2) У кубі ABCDA1B1C1D1 побудуйте переріз площиною, яка проходить через точки А, В, К, де точка К – середина ребра СС1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см. (6 балів)
Варіант 2
1) Паралельні площини? і? перетинають сторони кута АВС в точках А1, С1 і А2, С2 відповідно. Знайдіть ВС1, якщо А1В : А1А2 = 1:3, ВС2 = 12 см. (6 балів)
2) Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через точки А, В, С1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює
Варіант 3
1) На паралельних площинах? і? вибрано по парі точок А1, А2 і В1, В2 відповідно так, що прямі A1B1 і А2В2 перетинаються в точці О, яка лежить між площинами. Знайдіть ОА1, якщо А1В1 = 6 см, OB2 : ОА2 = 3. (6 балів)
2) Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через точки А, М, N, де точки М і N – середини ребер ВВ1 і DD1 відповідно. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см. (6 балів)
Варіант 4
1) На паралельних площинах? і? вибрано по парі точок А1, A2 і В1, В2 відповідно так, що прямі А1В1 і A2B2 перетинаються в точці О, яка не лежить між площинами. Знайдіть ОА1, якщо А1В1 = 6 см, ОВ1 : ОА2 = 3. (6 балів)
2) Побудуйте переріз куба ABCDA1B1C1D1 площиною, яка проходить через точки А, С, М,. де точка М – середина ребра А1В1. Знайдіть периметр перерізу, якщо ребро куба дорівнює 2 см. (6 балів)
Відповідь. Варіант 1. 1) 5 см; 2) 
См. Варіант 2. 1) 3 см; 2) 
См.
Варіант 3. 1) 1,5 см; 2) 4
См. Варіант 4. 1) 3 см; 2) 3
+ 2 см.
II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу
Для зображення просторових фігур у стереометрії користуються паралельним проектуванням. Пригадаємо, що це таке.
Нехай дано довільну площину?, точку А (рис. 83) і пряму h, яке перетинає площину?. Проведемо через точку А пряму, яка паралельна h, вона перетинає площину? у деякій точці А1. Знайдену таким способом точку А; називають паралельною проекцією точки А на площину? у напрямі h. Пряму h називають проектуючою прямою, площину? – площиною проекцій.
Щоб побудувати проекцію будь-якої фігури, треба спроектувати на площину проекції кожну точку даної фігури (рис. 84). Наведемо деякі властивості паралельного проектування.
Теорема.
Якщо відрізки, які проектуються, не паралельні проектуючій прямій, то при паралельному проектуванні:
1) відрізки зображаються відрізками;
2) паралельні відрізки зображаються паралельними відрізками або відрізками однієї прямої;
3) відношення довжин паралельних відрізків і відрізків однієї прямої зберігається.
1) Усі прямі, що проектують точки відрізка АВ, лежать в одній площині?, яка перетинає площину? по прямій А1В1 (рис. 85). Отже, проекцією відрізка є відрізок, причому довільна точка С відрізка АВ зображається точкою С1 відрізка А1В1.
2) Нехай відрізки АВ і CD, які проектуються, паралельні. Усі прямі, що їх перетинають і паралельні h, заповнюють або частини однієї площини (рис. 86), або паралельних площин (рис. 87).
Ці частини площин перетинають площину а відповідно або по відрізках однієї прямої, або по паралельних відрізках А1В1 і С1D1.
3) Якщо відрізки АВ і СВ, які проектують, розміщені на одній прямій (див. рис. 85), то за теоремою про пропорційні відрізки маємо: А1С1 : С1B1 = АС : СВ.
Якщо відрізки АВ і CD паралельні, а їх проекції А1B1 і С1D1 лежать на одній прямій (див, рис. 86), то АВВ2A2 – паралелограм. У цьому випадку A1B1 : C1D1 = A2B2 : CD = AB : CD. Нарешті, якщо проекції А1В1 і С1D1 даних відрізків АВ і CD не лежать на одній прямій (див. рис. 87), то побудуємо паралелограм CDKB. Його проекція – паралелограм СDKВ. Отже, маємо: А1В1 : C1D1 = А1В1 : В1К1 = АВ : ВК = АВ : CD.
Доведення третього твердження теореми можна опустити, обмежившись поясненнями, які зроблені в підручнику.
Виконання вправ
1. При якому положенні відрізка відносно площини проекції його проекція: а) дорівнює самому відрізку; б) є точка?
2. Відрізок проектується паралельно на площину. Як проектується середина відрізка на цю площину?
3. Чи може проекція відрізка бути більше відрізка, який проектують?
4. Чи можуть непаралельні прямі проектуватися в паралельні прямі? Наведіть приклади.
5. Як розташовані точки А і В відносно площини CDD1C1 (рис. 88)?
6. Площина фігури не паралельна напряму проектування. В яку фігуру проектується: а) трикутник; б) паралелограм?
Розглянуті властивості паралельного проектування дають змогу наочно зображати просторові фігури на площині.
Зображенням фігури називається будь-яка фігура, подібна до паралельної проекції даної фігури на деяку площину.
Розв’язування задачі № 37 із підручника (с. 22).
III. Домашнє завдання
§2, п. 13; контрольне запитання № 12; задача № 38 (с. 22).
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1) Як виконується паралельне проектування?
2) Що називається паралельною проекцією точки; фігури?
3) Що є паралельною проекцією прямої; двох паралельних прямих?
4) Чи зберігається при паралельному проектуванні довжина відрізків; величина кутів?
5) В якому випадку відношення довжин проекцій відрізків дорівнює відношенню довжин відрізків, які проектують?
6) Відрізок А1B1 – паралельна проекція відрізка АВ на площину? (рис. 89). Точка С лежить на відрізку АВ. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
А) проекція точки С на площину? не належить відрізку А1B1;
Б) відрізки АВ і А1В1 не лежать в одній площині;
В) якщо AC : BC = 2 : 3, то А1C1 : С1В1 = 2 : 3;
Г) якщо АС = СВ, то А1С1 = 2С1В1;
Д) якщо АС = 3 см, АВ =12 см, то А1С1 : А1В1 =1: 4.
