Похідна та її застосування

class=""/> x0 = 10, Δx = -5; Δy – ?

130.

F(x) = x2.

1) f'(x) = 2x; y(5) = 2 × 5 = 10; f’ (-3) = -6;

2) x – ? f'(х) = f(x); 2х = х2; х2 – 2х = 0; х(х – 2) = 0; x1 = 0, x2 = 2.

131.

Y = sin х; у’ = cos х;

1) cos 0 = 1;

2)

3) cos π = -1.

132.

X1 = 3t, x2 = t2, t ≥ο.

1) t -? x1′ = 3; x2′ = 2t; 3 = 2t;

2) 3 < 2t; t? (1,5; +∞);

3) v1 = 3; v2 = 2t.

133.

X = t2 + 1; x’ = 2t; x'(1) = 2; x'(2) = 4;

T0 -? v = 3; 2t = 3; t0 = 1,5.

134.

t ≥ 0; t0 = 4c;

Після 4 c точка рухається за законом x = kt + m,

х(4) = 2, m – ?

135.

1) A(1; 1).

2) B(4; 2).

3) x0 > 0.

136.

1) x0 = -1. tgα = -1, α = 135°;

2) α = -30° або α = 150°.

137.

У = x2, у’ = 2х. Рівняння дотичної до графіка функції у = y'(х0) × (х – х0) + y0.

Y'(х0) = 2х0,

1) x0 = 2, y0 = 4; у = 4(х – 2) = 4; у = 4х – 4;

2) x2 = х; x2 – x = 0; х(х – 1) = 0;

X1 = 0; x2 = 1; y'(x1) = 0; y'(x1) = 0; у1 = 0; у'(x2) = 2.

У = 0 × (х – 0) + 0, y = 0 – рівняння першої дотичної;

Y = 2 × (х – 1) + 1, у = 2х – 1 – рівняння другої дотичної.

3)y'(x0) = Ig 135° = – 1; x0 – ?

2х = -1;

4) у = 1 – х, k = -1; y'(х0) = -1;

138.

1) v1 > k; k > 0, v2(2) = 0,v1(2) > v2(2); v1(3) < v2(3);

2) v1сер. = v2сер.

3) друга точка змінила напрям руху в момент t= 2 с.

4) v 1(t) > 0, t > 2; .v2(t) > 0, t > 2; t? (2; +∞).

139.

x0 = 4, y0 = 2-

1)

Рівняння дотичної

4y = x + 4.

Дана пряма 4у – x = 4. Дотична і пряма збігаються.

2) Пряма у= 4х + 1, k = 4. Дотична

Пряма: і дотична перетинаються.

142.

1)

2 )

143.

Y = 2х4 – 5×3 + 2х – 5.

1) y = 8х3- 15х2 + 2;

2 )

3) y = х(х3 + 4х2 + х – 2) = x4 + 4х3 + x2 – 2х; у’ = 4х3 + 12х2 + 2х – 2;

4)

5)

6) у = (х2 + 1) × (5х – 3) = 5х3 – 3х2 + 5х – 3; y’ = 15×2 – 6х + 5;

7)

у’ = -6Х2 + 3х + 1;

8 )

9) х0 = 0;

Y'(0) = -2;

10)

11)

12 )

13) у = x × (cos x + 1); у’ = 1 × (cos х + 1) + х × (-sin х) = cosx – х sin х + 1;

14)

15)

16) у = In 3 × 3x; y’ = In 3 × 32 × In 3 = (In 3)2 × 32;

17)

18)

19) x0 = 1;

In 1 = 0, f'(x0) = 1;

20) у = Ig x + 2х;

21) у = ln(-х);

22) у = log2(3- 2х), x0 = 1;

23) y = 102x-1; у’ = 2 × 102x-1 × In 10.

144.

Y = 2х3 – 2х2 + x – 1.

1) x0 – ? у'(х0) = 1; y’ = 6х2 – 4х + 1; 6х2 – 4х + 1 = 0 + 1; 6х2 – 4х = 0; x1 = 0,

А(0; -1).

2)x – ? у'(х0) = 3; 6х2 – 4х + 1 = 3; 6х2 – 4х – 2 = 0; Зх2 – 2х – 1 = 0; x = 1,

А(1; 0),

145.

1) х = 1- 0,1t, t0 = 3. x'(t) = -(0,1)t × In 0,1;

Х'(3) = -(0,1)3 × (-In 10) = In10 × 0,001 = 0,0023;

2)

146.

У = x2 × In х.

У'(1) = 1; tg α = у'(1) =1; tg α = 1;

147.

Y = 3 cos x + 2 sin х; у’ = -3 sin х + 2 cos х, x0 = 0, у0 = 3;

1) у'(0) = 2. Рівняння дотичної: у = y'(0) × (х – x0) + y0;

Y = 2 × х + 3; у = 2х + 3;

2) у’ = -3 sin x + 2 cos х; y0 = 2,

Рівняння дотичної:

3).

Рівняння дотичної:

148.

Α = 135°, tg 135° = -1; tg 135° = y'(x0); -1 = y'(x0); x0 – ?

(x – 2)2 = 4; x – 2 = 2; x1 = 4, x2 = 0;

A(4;3); y2 = -1,B(0; -1).

149.

У = x2 – 3х + 2; y’ = 2x – 3.

1) y'(0) = -3; x = 0, у = 2. Рівняння дотичної: у = -3 × x + 2.

2) x – ? x2 – 3х + 2 = 0; х 1 = 1, x2 = 2, у1 = 0, у2 = 0.

У'(x 1) = -1, рівняння дотичної; у = -(х – 1) = – х + 1.

У'(x2) = 1, рівняння дотичної у = x – 2.

3) у = x2 – 3х + 2; у’ = 2х – 3.

X – ? x2 – 3х + 2 = x2 – 1; -3х + 2 = -1; -3х = -3; x0 = 1,

У0 = 0; у'(1) = -1; у = -(х -1). Рівняння дотичної: у = – х + 1.

150.

t ≥> о.

1) x'(t) = 2t3 – 2t (м/с) = v(t);

2) t – ? х'(t) = 0; t3 – t = 0; t(t – 1)(t +1)=0; t1 = 0 с, t2 = 1 с, t3 ≠ -1, t > о.

3) х = о, t -?, t2(t2 – 2) = 0; t1 = 0,

V(0) = 0 м/с;

4) v”(t) = 6t2 – 2; t0 =1; v”(t0) = 6 – 2 = 4; v”(1) = 4 м/с2.

151.

X = 2 sin πt, t ≥ 0.

1) v = 2π cos πt;

v(1) = 2πcosπ = -2π м/с.

2) t – ? v(t) = 0; 2π cos πt = 0; cos πt = 0;

n = 0,1,2,3,4,…

3) v(t) = 2π cos πt ≤ 2π, якщо cos πt =1; πt = 2πk, t = 2k, k = 0, 1, 2, 3, …

4) v'(t) = -2π2 sin πt = (-π2) × 2 sin πt; v'(t) = (-π2) × x(t), k =-π2.

152.

X = 2t3 – 3t2 – 12t + 1, t ≥ 0.

1) v = x'(t) = 6t2 – 6t – 12 = 6(t2 – t – 2);

V'(t) = (6 × (t2 – t – 12))’ = 6 × (2t – 1);

V'(3) = 6 × (0 – 1) = 30 м/c2;

2) t-? v'(t) = 0; 6 × (2t – 1) = 0;

153.

1)

2)

3) x ≥ -2; x? [-2; +∞);

4) x? [-1; 0) (0; +∞).

154.

1) функція непарна;

2) функція непарна;

3)у = е-2х + е2х; у(-х) = е2х + e-2x = у(х), функція парна;

4) у = x2 + 1; y(-x) = (-х)3 + 1= – х3+ 1 ≠ ± у(х), функція ні парна, ні непарна.

155.

1) у = sin 2х; T = π;

2) T= 3π;

3) Τ=2π:

4) y = tg x ×ctg x; у = 1,якщо

156.

Y = log0,5x, y = ex, y= 1 – x,

Серед цих функцій зростаючі – це у = еx та

У своїй області визначення.

157.

1) f(x) = x3 + 2x + 1, D(f ) : x? R.

Функція зростає, якщо її похідна є невід’ємною.

Знайдемо f'(x). f'(x) = 3х2 + 2 > 0, x? R, тобто f(x) – зростаюча.

2) f(x) = 1 + 2x + sin х, D(f): х? R.

F'(x) = 2 + cos x > 0, тому що |cos х| ≤ 1. f(x) зростає всюди.

158.

1) у = 2х3 – 3х2 – 72х + 6, D(f): х? R. у’ = 6х2 -6х – 72.

Знайдемо нулі похідної: 6(x2 – х – 12) = 0; x1 = 4, x2 = -3.

Розіб’ємо область визначення функції на інтервали і

Визначимо знаки похідної на кожному з інтервалів.

Функція зростає на проміжках (-∞; -3] і [4; +∞) (f'(x) ≥ 0).

Функція спадає на проміжку [-3; 4] (f'(x) ≤ 0).

2) у = 9х4 – 16×3 + 6х2 + 3, D(y): х? (-∞; +∞),

У’ = 36×3 – 48×2 + 12x = 0; 12x(3×2 – 4x + 1) = 0; x1 = 0;

x2 = 1;

Функція зростає на проміжках

І [1;+∞) (y’ ≥ 0).

Функція спадає на проміжках (-∞; 0] і

3) D(y): x? R. x = ±1.

Функція спадає на проміжках (-∞; -1] і [1;.+ ∞) (у’ ≤ 0).

Функція спадає на проміжку [-1; 1] (y’ ≥ 0).

4) у = x3 + 2х2 – 4х +1, D(y): x? R.

У’ = 3х2 + 4х – 4 = 0;

X1 = -2;

Функція зростає на проміжках (-∞; -2] і (у’ ≤ 0).

Функція спадає на проміжку (y’ ≤ 0).

5) y = 3×4 – 5×3 + 2, x? R. у’ = 12х3 – 15×2 = 3х2(4х – 5) = 0;

X1 = 0;

Функція спадає на проміжку (y’ ≤ 0).

Функція зростає на проміжку(y’ ≥ 0).

6) у = (х + 3)(x – 1), D(y): x? R. у = (х + 3)(x2 – 2х + 1) = x3 + х2 – 5х + 3;

У’ = 3х2 + 2х – 5 = 0; x1 = 1;

Функція зростає на проміжках і [1;+ ∞) (у’ ≥ 0).

Функція спадає на проміжку (у’ ≤ 0).

7) у = 1-(х – 5)х3 = 1 + 5х3 – x4, D(y): х? R.

Y’ = 15×3 – 4х3 = x2(15 – 4х) = 0; x1 = 0;

Функція зростає на проміжку (y’ ≥ 0).

Функція спадає на проміжку (у’ ≤ 0).

8) у = ех – x + 1, D(y) ? R. у’ = ex – 1 = 0; х = 0.

Функція спадає на проміжку (-∞; 0] (у’ ≤ 0).

Функція зростає на проміжку [0; +∞”) (y’ ≥ 0).

9) у = xex, D(y): x? R. у’ = еx + хех = еx(х + 1) = 0; x = -1.

Функція спадає на проміжку (-∞; -1] (у’ ≤ 0).

Функція зростає на проміжку [-1; +∞) (у’ ≥ 0).

10) у = x(ln x – 2), D(y): x? (0; +∞).

x = e.

Функція спадає на проміжку (0; е) (у’ ≤ 0).

Функція зростає на проміжку (е; +±) (y’ ≥ 0).

11). D(y): t? R. t2 + 2t – 3 = 0;

T2 + 2t -3 = 0; t1 = -3, t2 = 1.

Функція спадає на проміжках (-∞; -3] і [1; +∞).

Функція зростає на проміжку [-3; 1] (y’ ≥ 0).

159.

1) 3 малюнка 123 видно, що f(x) = 0 при x = 0 I x = 1. (Дотична до графіка функції

В цих точках горизонтальна.) Тобто 2 корені: x1 = 0, x2 = 1.

2) f(x) < 0 (функція спадає). з малюнка видно, що ця умова виконується на проміжках (-2; 0) (1; 3).

160.

Функція зростає на проміжку [-2; 1] (y’ ≥ 0) і спадає на проміжку [1; 2] (у’ ≤ 0).

161.

1) Наприклад, f'(x) < 0, f(x) - спадає; f'(x) = 0, f(x) - стала.

2) Дивись рисунок

162.

4х5 + x3 + 5 = 0.

Розглянемо функцію у = 4×5 + x3 + 5, D(y): х? R. Її похідна у’ = 20х4 + 3×2 ≥ 0 (x? R), тобто функція монотонна (зростаюча), отже, рівняння 4х5 + х3 + 5 = 0 має не більше, ніж один корінь. Неважко перевірити, що х = -1 є коренем даного рівняння.

163.

1) f'(x) > 0, х? (-4; -3) і (-1; 4);

2) f'(x) < 0, x? (-3; -1) і (4; 6);

3) f'(x) = 0, x = -3, х =-1, x = 4.

4) Точку екстремуму: x1 = -3, уmax = -1; x2 = -1, ymin = -3; x3 = 4, ymax = 1.

5) Таких точок немає.

1) f'(x) > 0, х? (0; 2);

2) f'(x) < 0, х? (-3; 0) і (2, 4)

3) f'(x) = 0,x = 0.

4) Точки екстремуму: x1 = 0, уmin = -2; x2 = 2, у = 0.

5) y'(x) нe існує, x = 2.

164.

1) у = x3 – 2х2 + 7x + 3, D(у): х? R.

Y’ = 3х2 – 4х – 7=0;

x2 = -1.

2) у = x3 + x2 – 5x + 4, D(y): x? R.

У’ = 3х + 2х – 5 = 0;

x2 =1.

3) y = x4 – x3 + 7. D(y): x? R.

У’ = 4х3 – 3х2 = 0; х2(4х – 3) = 0;

X1,2 = 0

4) у-(1 + х)ех, x? R. у’ = ех + (1 + х)еx = ех(х + 2) = 0; x = -2.

5) у = In x – 3x, D(y): х? (0; +∞).

6) x є (-∞; 0) (0; +∞).

x = -1.

7) x? (-∞; 0) (0; +∞).

x = ±2.

8) у = 2х In x, D(y): x? (0; +∞). у’ = 2(ln х + 1) = 0; In х = -1;

9) x? R. x = 1.

165.

1) D(y): х? R.

У’ = 5х2 + 4x + 1 = 0;

D< 0, дійсних коренів немає і 5х2 + 4x + 1 > 0, x? R.

Функція всюди зростає, екстремумів немає,

2) у = 2 x + sin х, x? R. у’ = 2 + cos х > 0 всюди, тому |cos x| < 1.

Екстремумів нема. Функція всюди зростає.

166.

1) Критичні точки x1 = -1, x2 = 1, x3 = 3.

2) g(3), тему що x = 3 – точка максимуму.

На проміжку [2; 3] у’ > 0, тому функція зростає і g(3) > g(2).

167.

1) у = х3- 3х.

1. D(y): x? R.

2. Непарна, у(-х) = – х3 + 3x = -(х3- 3) →симетрія відносно начала координат.

3. Неперіодична.

4. у = 0, х(х2 – 3) = 0, x1 = 0,

5. y’ = 3х2 – 3 = 3(х2 – 1) = 0О, x = ±1.

2) у = 3×2 – x3.

1 .D(y): x? R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, х2(3 – х) = 0, x1 =0,x2 = 3.

5. у’ = 6x – 3х2 = 0,3х(2 – х) = 0, x = 0, х = 2.

4) y = x4 – 2×2 + 1, у = (x2 – 1)2.

1. D(y): x? R.

2. Парна, f(-x) = f(х), графік симетричний відносно вісі Oy.

3. Неперіодична.

4. у = 0, x = ±1, у ≥ 0.

5. y’ = 2(х2 – 1) × 2x = 4x(x2 – 1) = 0, x1 = 0, x2 3 = ±1.

5) у = 2×4 – 8х.

1. D(y): x? R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, 2х(х3 – 4) = 0, x1 = 0,

5. у’ = 8х3 – 8 = 8(x3 -1) = 0, x = 1.

6) у = х3(3х – 4) = 3х4 – 4х3.

1. D(y): x? R.

2. Загального виду.

3. Неперіодична.

4. у = 0, x1 = 0,

5. у’ = 12×3 – 12×2 = 12×2(x -1) = 0, x1 = 0, x2 = 1.

168.

X = (t – 33)(t – 1) – 1, t ≥ o.

V(t) = x'(t) = 3(t – 3)2(t – 1) + (t – 3)3 × 1 = (t – 3)2(3t – 3 + t – 3) = 2(t – 3)2(2t -3);

V(t) = 2(t – 3)2(2t – 3), t ≥ 0;

V'(t) = 2; (2(t – 3)(2t – 3) + (t – 3)2 × 2) = 4(t – 3)(2t – 3 + t – 3) = 12(t – 3)(t – 2);

V'(t?) = 0; t = 2, t = 3.

168.

X = (t – 3)3(t – 1)- 1.

T = 0, x = 26.

X’ = 3(t – 3)2(t – 1) + (t – 3)2 × 1 = 2(t – 3)(2t – 3) = 0; t1 = 3,

169.

X3 – 6X2 + 9X = 4.

Розглянемо функцію у(х) = x3- 6×2 + 9x.

Побудуємо її графік. у = 0: х(х2 – 6х + 9) = 0, x1 = 0, x2 = 3.

У(х) = х(х – 3)2.

У’ = 3×2 – 12х + 9 = 3(х2 – 4х + 3) = 0, x1 = 1, х2 = 3.

Графік правої частини рівняння є пряма у = 4.

Вона перетинає графік лівої частини рівняння

У = x3 – 6×2 + 9x в двох точках x = 1і x = 4.

Отже, рівняння має 2 корені: х = 1, x = 4.

170.

1) y найб. = 1 при x = 1, y найм. = 0 при x = 0;

2) y найб = 2 при 2 ≤ х ≤ 3, y найм. =1 при х = 4;

3) y найб = 5 при x = 8, y найм. = 3 при х = 5 і х = 7;

4) y найб. = 4 при x = 6, y найм. =0 при X = 0.

171.

1) у = 3х – 2, y’ = 3 ≠ 0, y найм. = y(-1) = -5, y найб = y(3) = 7;

2) y = 2 – 3х, у’ = -3 ≠ 0, y найм. = y(3) = -7, y найб = y(-1) = 5;

3) y = x2 – 6x + 8, y’ = 2х – 6 = 0, х = 3 ? [1,4].

Y найб = 3 при x = 1, y найм.= -1 при x = 3.

4) у = х2 – 6х+ 8, y’ = 2х – 6 = 0,

Y найб = 3 при x = 1. y найм. = 0 при x = 2.

5) y’ = х2 + 2х – 3 = 0, x1 =-3, x2= 1.

при x = 4; при x = 1.

6 )

Y’ = x2+ 2x – 3 = 0, x1 = -3 ? [-4; 0],

Y найб = 10 при x = -3, y найм. = 1 при х = 0.

7) y = cos x + sin х; y’ = – sin х + cos х = 0| : cos х; tg х= 1;

y найм. = 1 при x = 0,

8) y = tg x +2x;

при

при

9) y = xex. y’ = ex(1 + x) = 0,x = -1 ? [-2; 0].

Y найб = 0; при x = 0; при х = -1.

172.

t ≥ о

1) x(0) =-5;

X найм. = -5.

2) v = x'(t) = -2t2 + 3t + 2. t – ?

V(t) = 0. -2t2 + 3t+ 2 = 0; 2t2 – 3t – 2 = 0; t1 = 2,

– не задовольняє умові.

V’ = -4t + 3. t – ? v’=0,

173.

1)

S = x × (160 – x) =- x2 + 160х. S найб. – ?

S’ = -2x + 160; 160 – 2x = 0; x = 180. Розмір ділянки: 80 x 80.