Скалярний добуток векторів
УРОК № 49
Тема. Скалярний добуток векторів
Мета уроку: формування поняття скалярного добутку векторів; формування вмінь застосовувати вивчені означення та властивості до розв’язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати та вектори на площині”[13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: формулюють означення скалярного добутку, його властивості; застосовують вивчені означення та властивості до розв’язування задач.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Дано два вектори:
Варіант 1
(1; 0), 
(0; -1);
Варіант 2
(-1; 0), (0; 1).
Знайдіть:
А) координати вектора 2;
Б) координати вектора –
;
В) довжину вектора + ;
Г) довжину вектора – ;
Д) координати
+ 4;Є) довжину вектора 3 + 4.
ІІ. Аналіз результатів самостійної роботи
ІІІ. Поетапне сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Скалярний добуток векторів
Скалярним добутком векторів і (позначення: (?), або , або (; )) називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними, тобто ? = || ? ||cos? (рис. 211).
Два ненульові вектори тоді і тільки тоді взаємно перпендикулярні, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю, тобто 
? = 0 ( 
, 
).
Властивості скалярного добутку
1) ?= ?(переставний закон); 2) 2 = ||2, або || = 
= 
; 3) ( + ) ? 
= ? + ? (розподільний закон); 4) (?) ? = ?(?) (сполучний закон).
Примітка 1. Косинус кута між ненульовим векторами та виражається формулою 
, яка випливає з означення скалярного добутку.
Примітка 2. Властивість 2 скалярного добутку, а саме формула || = = = , дозволяє обчислювати довжину вектора в загальному випадку.
Примітка 3. Розподільний закон справджується для будь-якого скінченного числа доданків. Наприклад, правильна формула ( + + 
) ? = ? + ? + ?.
Скалярний добуток двох векторів, які задано координатами, дорівнює сумі добутків відповідних координат.
Якщо задано вектори (a1; a2) і (b1; b2) на площині, то ?= а1b1 + а2b2.
Розв’язування задач
1. Сторона рівностороннього трикутника ABC дорівнює 13. Знайдіть скалярний добуток 
?
(рис. 212).
Розв’язання
Оскільки || = || = 13, 
A = 60°, то ? = ||?||cosA = = 13 ? 13 cos60° = 169 ? 
= 84,5.
Відповідь. 84,5.
2. Задано вектори 
= – 4, 
= 3 + 2, які взаємно перпендикулярні. Вектори і – одиничні вектори. Знайдіть кут між векторами і (в градусах).
Розв’язання
Оскільки || = 1 і ? = 0, то маємо 
? = ( – 4)(3 + 2) = 32 + 2– 12 – 8b2 = 3 ? ||2 – 10|||| соs? – 8||2 = 3 – 10cos? – 8 = – 5 – 10cos?,
Тоді – 5 – 10cos? = 0, соs? = –
, ? = 120°.
Відповідь. 120°.
IV. Розв’язування задач
1. Знайдіть кут між векторами (1; 2) і 
. 2. Дано вершини трикутника ABC: А
, В
, С
. Знайдіть його кути. 3. Доведіть, що вектори (т; п) і (-n; m) перпендикулярні або дорівнюють нулю. 4. Дано вектори (3; 4) і (m; 2). При якому значенні т вони перпендикулярні? 5. Дано вектори (1; 0) і (1; 1). Знайдіть таке число х, щоб вектор + x був перпендикулярний до вектора . 6. Доведіть, що коли і – одиничні неколінеарні вектори, то вектори + і – відмінні від нуля й перпендикулярні. 7. Дано вектори і . Знайдіть абсолютну величину вектора + , якщо || = || = 1, а кут між векторами і дорівнює 60°.
V. Домашнє завдання
1. Вивчити теоретичний матеріал. 2. Розв’язати задачу.
Дано вершини трикутника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Знайдіть косинуси кутів цього трикутника.
VI. Підбиття підсумків уроку
Завдання класу
1. Дайте означення скалярного добутку векторів та сформулюйте властивості скалярного добутку векторів. 2. Сформулюйте властивість і ознаку перпендикулярних векторів.
