Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь

class=""/>;
; .
1) ; , k Є Z.
2) ; , k Є Z.
Відповідь: , k Є Z;
, k Є Z.
2. Спосіб розкладання на множники
;
;
;


Відповідь: N Є Z;
K Є Z.
Якщо під час розв’язування одержуємо сукупність кількох серій розв’язків, доцільно перевірити, чи не можна їх описати загальною формулою. Для цього рекомендується використовувати тригонометричне коло:

Наприклад, позначивши на колі дві серії:

бачимo, що відповідь можна записати у вигляді K Є Z.
3. Однорідні рівняння
У загальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:

, де .
Значення x, при яких , не є розв’язком рівняння. Дійсно, якщо , рівняння набуде вигляду , звідки . Але і не можуть перетворитися на 0 одночасно.
Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на не може відбутися втрата коренів.
Отримуємо: .
Введемо нову змінну і дістанемо алгебраїчне рівняння: .
Зверніть увагу: якщо у лівій частині рівняння можна винести за дужки, то ділення на веде до втрати коренів.
Приклади
1) ;

;
;
.
Нехай .
;
; .
а) ; , n Є Z;
б) ; , n Є Z.
Відповідь: , n Є Z;
, n Є Z.
2) ;
;
;


Відповідь: , n Є Z, , n Є Z.
4. Спосіб введення допоміжного аргументу
Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь виду asinx ++ bcosx = c.
Поділимо обидві частини рівняння на . Дістанемо:
.
Очевидно: ,
.
Із цього випливає, що можна ввести до розгляду кут .
Тоді ; , і рівняння набуде вигляду:

або .
Можна прийняти:
, .
Тоді дістанемо .
Рівняння виду можна розв’язувати і в інший спосіб:
.
Використавши тотожність , дістанемо однорідне рівняння.
5. Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів
Ці рівняння зводять до вигляду , а потім розв’язують систему
Приклад


Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.
Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду , n Є Z.
Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд , k Є Z (див. рисунок нижче).

Відповідь: , n Є Z.
6. Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки
Приклад. Скільки розв’язків рівняння належать проміжку ?
;
;
;
;
;


Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків належить проміжку
I cпосіб. Розглянемо нерівності:
1) ; 2) ;
; ;
. .
n = 0; 1; 2; 3, ,
оскільки n Є Z. оскільки n Є Z.
Таким чином, проміжку належать п’ять розв’язків рівняння.
ІІ спосіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.