Вправи 100-49
100.
А || b, с || d. 4 точки перетину.
101. 1)
Всі чотири прямі перетинають пряму с.
2)
Одна пряма паралельна, три перетинають пряму с.
102.
1) m || с; 2) m || b; в) m || а.
103. а || b.
Якщо b i c не перетинаються, то через т. М проведено 2 прямі паралельні b, що неможливо.
104. а і b – перетинаються; с || b, d || а. Прямаdперетинає прямі b i c.
105.
106.
107.
4 прямі перетинаються в 6 точках.
108. 1)
∠(bd) = ∠(ad) – ∠(ac) – ∠(bc);
∠(bd) = 180° – 135° – 20° = 25°;
∠(bd) = 25°;
2)
∠(bd) = ∠(bc) + ∠(cd);
∠(cd) = 180° – 135° = 45°;
∠(bd) = 20° + 45° = 65°.
109. ∠AOB = ∠A1OB;
∠AOB + ∠A1OB = 180°;
∠AOB = 90°.
110. a)
Ці кути мають спільну вершину;
Б) не обов’язково.
111. Обидва суміжні кути можуть бути тільки прямими.
112.
Суміжні кути: ∠(ab) і ∠(bd); ∠(ac) i ∠(cd).
113.
∠(ac) = ∠(bc) = 90°.
114. 150°, 120°, 90°, 45°.
115.
A) ∠(ac) і ∠(bc);
Б) ∠(ac) + (bc) = 180°;
В) ∠(ad) і ∠(db), ∠(ac) і ∠(bc).
116.
1) ∠ABC = 45°; б) ∠DBA = 180°.
117.
∠(ad) і ∠(ab); ∠(ab) і ∠(bc); ∠(bc) і ∠(cd); ∠(cd) i ∠(ad).
118.
∠AON і ∠MOA; ∠NOB і ∠BOM – суміжні кути.
119.
А) ∠BOC : ∠AOB = 5 : 31; x – спільна міра кутів, тоді ∠BOC = 5х, ∠AOB = 31x. ∠AOB + ∠BOC = 180°; 5x + 31x = 36°; 36x = 180°; x = 180° : 36; x = 5°; ∠AOB = 155°; ∠BOC = 25°.
Відповідь: 25°, 155°.
Б) ∠BOC < ∠aob на 70°; ∠boc = x, ∠aob = x + 70°. x + x + 70° = 180°; 2x = 180° - 70°; 2x = 110°; x = 55°; ∠boc = 55°, ∠aob = 55° + 70° = 125°.
120.
А) Нехай ∠BOC = x, тоді ∠AOB = 3x; ∠BOC + ∠AOB = 180°; x + 3x = 180°; 4x = 180°; x = 180° : 4; x = 45°; ∠BOC = 45°, ∠AOB = 3 x 45° = 135°.
Б) ∠BOC = x, ∠AOB = x + 20°; x + x + 20° = 180°; 2x = 160°; x = 160° : 2; x = 80; ∠BOC = 80°, ∠AOB = 80° + 20° = 100°.
121.
∠BOC = ∠COA = 50°, ∠AOB = 100°. ∠BOD – суміжний ∠AOB; ∠BOD + ∠AOB = 180°; ∠AOB = 180° – 100°; ∠AOB = 80°.
122. ∠1 > ∠3; ∠2 < ∠4.
123.
∠AOB = 72°, ∠COD = 37°, ∠BOC = 180° – 72° – 37° = 71°.
124.
∠AOB – даний кут, ∠AOD і ∠BOK – суміжні з ним, ∠AOD = ∠BOK = 240° : 2 = 120°, ∠AOB = 180° – 120° = 60°.
Відповідь: 60°.
125.
∠AOB – даний кут. OD – бісектриса ∠AOB. OB і ОС – доповняльні промені, ∠DOC = 130°. ∠DOB = 180° – 130° = 50°, ∠DOB = ∠DOA = 50°, ∠AOB = 2∠DOB = 50° х 2 = 100°.
Відповідь: 100°.
126.
∠AOB – даний кут, OD – бісектриса даного кута, ОС і OD – доповняльні промені, ∠AOC = 165°. ∠AOD і ∠AOC – суміжні кути, ∠AOD = 180° – 165° = 15°, ∠AOD = ∠DOB = 15°, ∠AOB = ∠AOD +∠DOB = 15° + 15° = 30°.
Відповідь: 30°.
127.
∠(ac) = 160°, ∠(bd) = 140°, ∠(cd) = 180° – 160° = 20°, ∠(ab) = 180° – 140° = 40°.
∠(bc) = 180° – (∠(ab) + ∠(cd)) = 180° – (40° + 20°) = 180° – 60° = 120°.
Відповідь: ∠(bc) = 120°.
128.
∠BOD = 112°, ∠AOC = 138°.
1) ∠AOB = 180° – ∠BOD = 180° – 112° = 68°;
2) ∠COD = 180° – ∠AOC = 180° – 138° = 42°;
3) ∠BOC = 180° – ∠AOB – ∠COD = 180° – 68° – 42° = 70°.
Відповідь: 70°.
129.
X – спільна міра кутів. ∠AOB – ∠BOC = 5x; ∠BOC = 2x; ∠AOB = 7x.
∠BOC + ∠AOB = 180°, 2x + 7x = 180°; 9x = 180°; x = 180° : 9; x = 20°; ∠BOC = 2 x 20° = 40°; ∠AOB = 7 x 20° = 140°.
Відповідь: 40° і 140°.
130.
∠AOB – даний кут OK – бісектриса кута. ∠BOD і ∠AOB – суміжні, ∠KOB = ∠BOD, ∠KOB = ∠AOK, OK – бісектриса, отже, ∠AOK = ∠KOB = ∠BOD = 180° : 3 = 60°; ∠AOB = 120°.
Відповідь: 120°.
131.
∠AOC і ∠COB – суміжні кути, OK – бісектриса ∠COB, ∠1 = ∠2, OP – бісектриса ∠AOC, ∠3 = ∠4.
(∠1 + ∠4) + (∠2 + ∠3) = 180°; ∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3; ∠1 + ∠4 = 90°; ∠POK = 90°.
Відповідь: 90°.
132.
∠1 + ∠2 = 180°. OB – спільна сторона. ∠AOB і ∠COB – суміжні кут.
133.
∠MON – 90°, ОМ і ON – бісектриси кутів ∠AOB і ∠BOC.
Ці кути суміжні, OB – спільна сторона, а ОС і ОА – доповняльні промені; точки А, О, С лежать на одній прямій.
134.
M i p, k i n – доповняльні промені.
135.
∠(cd) = 32°, ∠(ad) = 180° – 32° = 148°, ∠(ab)= 180° – 148° = 32°.
Відповідь: ∠(ab) = 32°, ∠(ad) = 148°.
136.
1) Дві прямі при перетині не можуть утворити три гострі кути.
2) Не можуть утворити тільки один тупий кут.
3) Можуть при перетині утворити чотири прямі кути.
137.
Два рівні кути зі спільною вершиною не завжди вертикальні.
138.
А) Вертикальні кути; б) суміжні кути; в) вертикальні кути.
139. Якщо прямі перпендикулярні.
140. Гострий кут.
141. Ці прямі – перпендикулярні.
142.
С може бути перпендикулярною до якої-небудь із прямих а і b.
143.
A) ∠1 = 80°, ∠2 = 80°, ∠3 = ∠4 = 100°;
Б)
M ⊥ а, m не є перпендикулярною до прямої b.
144. c ⊥ a, b || c.
145.
∠1 = 125°, ∠2 = ∠1 = 125°, ∠3 = ∠4 = 180° – 125° = 55°. Кут між цими прямими 55°.
146.
А) ОК – бісектриси ∠COA, ∠AOK = 23°, ∠COA = ∠DOB = 46°, ∠BOC = ∠AOD = 180° – 46° = 134°.
Відповідь: 46°. 46°, 134°, 134°.
Б) ∠BOC в 3 рази > ∠BOD; ∠BOD = х, ∠COB = 3х; х + 3х = 180° (суміжні кути); 4х – 180°; х = 180° : 4; х = 45°; ∠AOC = ∠BOD = 45°, ∠COB = ∠AOD = 135°.
147.
A) ∠AOC + ∠BOD = 320°, ∠AOC = ∠BOD (вертикальні кути). ∠AOC = ∠BOD = 320° : 2 = 160°; ∠AOВ і ∠AOC – суміжні кути; ∠AOВ = 180° – ∠AOC = 180° – 160° = 20°; ∠COD = ∠AOB = 20°.
Б)
∠AOD більше ∠DOB на 50°; ∠DOB = x, ∠AOD = x + 50°. ∠AOD і ∠DOB – суміжні кути; x + x + 50° = 180°; 2x = 180° – 50°; 2x = 130°; x = 130° : 2; x = 65°; ∠AOC = ∠DOB = 65°; ∠AOD = ∠COB = 65° + 50° = 115°.
Відповідь: 65°, 65°, 115°, 115°.
148. AB ⊥ CD
A) AK ⊥ CD, BK ⊥ CD, AB ⊥ CD;
6) KD ⊥ AK, KC ⊥ AK, CD ⊥ AK, DC ⊥ AK.
149.
AC перетинається з прямою BD. ∠AOD – тупий, ∠COB = ∠AOD – вертикальні кути, ∠COB – тупий, ∠AOB – суміжний тупому куту, ∠AOB – гострий, ∠COD = ∠AOB, ∠COD – гострий кут.
